樹狀陣列略解
阿新 • • 發佈：2018-12-05
樹狀陣列
樹狀陣列是一個很奇特的樹，它的節點會比線段樹少一些，也能表示一個數組。
比如一個數組叫做a有8個數，那麼它的樹狀陣列樣子就長這樣
c陣列就是樹狀陣列，能看出來
c1=a1;
c2=a1+a2;
c3=a3;
c4=a1+a2+a3+a4;以此類推。。。。。。 很難說出他們的關係，但是如果把它們變為二進位制
c0001=a0001
c0010=a0001+a0010
c0011=a0011
c0100=a0001+a0010+a0011+a0100你會發現，將每一個二進位制，去掉所有高位1，只留下最低位的1，然後從那個數一直加到1，看一看是不是這樣。
樹狀陣列單點修改
這裡有一個很關鍵的東西，叫做lowbit，lowbit是將一個二進位制數的所有高位一都去掉，只留下最低位的1，比如lowbit（5）=lowbit（0101（二進位制））=0001（二進位制）
而如果改變x的值，就要加上自己的lowbit，一直加到n，這些節點都要加，比如一共有8個數第3個數要加上k，那麼c[0011]+=k;
c[0011+0001] (c[0100])+=k;
c[0100+0100] (c[1000])+=k;
這樣就能維護樹狀陣列
inline int lowbit(register int x) { return x&(-x); } inline void add(register int x,register int k) { while(x<=n) { tree[x]+=k; x+=lowbit(x); } }
樹狀陣列區間查詢
就是字首和，比如查詢x到y區間的和，那麼就將從1到y的和-從1到x的和。
從1到y的和求法是，將y轉為2進位制，然後一直減去lowbit(y)，一直到0
比如求1到7的和
ans+=c[0111];
ans+=c[0111-0001(0110)];
ans+=c[0110-0010(0100)];
ans+=c[0100-0100(c[0]無意義，結束)]inline int sum(register int x) { int ans=0; while(x!=0) { ans+=tree[x]; x-=lowbit(x); } return ans; }
樹狀陣列區間修改
簡單差分。如果將x到y區間加上一個k，那就是從x到n都加上一個k，再從y+1到n加上一個-k
加的移動還是i+=lowbit(i);
程式碼與單點修改相同（就是兩次單點修改）
樹狀陣列單點查詢
從x點，一直x-=lowbit(x)，沿途都加上就好啦
實際和區間查詢相同
完整程式碼（Luogu P3374 【模板】樹狀陣列 1）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,tree[2000010];
inline int lowbit(register int x)
{
return x&(-x);
}
inline void add(register int x,register int k)
{
while(x<=n)
{
tree[x]+=k;
x+=lowbit(x);
}
}
inline int sum(register int x)
{
int ans=0;
while(x!=0)
{
ans+=tree[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
int a;
scanf("%d",&a);
add(i,a);
}
while(m--)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(a==1)
add(b,c);
else
printf("%d\n",sum(c)-sum(b-1));
}
return 0;
}完整程式碼（Luogu P3368 【模板】樹狀陣列 2）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int input[500010];
int tree[500100];
inline int lowbit(register int x)
{
return x&(-x);
}
inline void add(register int x,register int k)
{
while(x<=n)
{
tree[x]+=k;
x+=lowbit(x);
}
}
inline int search(register int x)
{
int ans=0;
while(x!=0)
{
ans+=tree[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&input[i]);
while(m--)
{
int a;
scanf("%d",&a);
if(a==1)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,z);
add(y+1,-z);
}
else
{
int x;
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",input[x]+search(x));
}
}
}