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統計基礎之區間估計

阿新 • • 發佈：2018-12-08

最近在學《商務與經濟統計》基礎知識，為進一步把所學的知識點理順，通過寫文章的形式進行總結，一方面加深對知識點的理解，另一方面提高自己的文字表述能力。

一、總體總體常見的幾種分佈

1、\chi ^{2}分佈：又稱卡方分佈，是標準正態的平方和。

2、t分佈：是標準正態除以卡方比上其自由度的平方根。

3、F分佈：兩個卡方比上各自自由度的比。

4、Z分佈：標準正態分佈。

二、總體均值區間估計：

總體分佈 樣本量 \delta已知 \delta未知
正態分佈 大樣本（n>=30） \bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}}) \bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})
小樣本（n<30） \bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}}) \bar{x}\pm{t_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})
非正態分佈 大樣本(n>=30) \bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}}) \bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})

理解上表：

1、當總體分佈是正態分佈時：a、總體方差\delta2已知，如果是大樣本，經過標準化後Z=\frac{\bar{x}-u}{\frac{\delta }{\sqrt{n}}},置信區間為：\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})，如果是小樣本，置信區間為\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})，b、總體方差\delta2未知，如果是大樣本，則用樣本方差s2代替，置信區間為\bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})，吐過是小樣本，用樣本方差S2代替，樣本均值經過標準化後的隨機變數服從自由度為（n-1）的t分佈，置信區間為\bar{x}\pm{t_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})。

2、當總體分佈是非正態分佈時（必須是大樣本，n>=30）：a、總體方差已知，經過標準化後服從正態分佈，置信區間為\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sigma }/{\sqrt{n}})；b、總體方差未知，置信區間為\bar{x}\pm{z_{a/2}}({s }/{\sqrt{n}})

。（包含一個中心極限定理：當抽樣的隨機樣本的總體不服從正態分佈時，從總體中抽取容量為n的簡單隨機樣本，當樣本容量很大時，樣本均值\bar{x}的抽樣分佈服從近似正態概率分佈。）

2、總體比例的區間估計（大樣本情況下:滿足：np>=5,n(1-p)>=5）

期望：E(p）=p，方差：\delta _{p}^{2}=\frac{p(1-p)}{n},置信區間為：p\pm\bar{x}\pm{z_{a/2}}({\sqrt{\frac{p(1-p))}{n}}})

3、總體方差區間估計（\chi ^{2}分佈）（滿足正態總體方差估計）：樣本方差服從自由度為n-1的\chi ^{2}分佈

 

 

 

 

 

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