SICP中，說明了功能抽象的一種型別：一般化函式的設計。通用函式在通常的Java/C語言的教學中，通常放在後面作為高階內容。如在講解C的函式指標、Java的模板方法模式的時候。

1.求平方根

牛頓的逐步逼近方法是通用的方法。例如，求一個數n的平方根，先給出一個猜測值x(如初始化為1或n)，如果n- x* x不滿足精度(設定精度引數)，按照某個規則例如x =( x + n/ x)/2再猜測，直到滿足精度。

package semantics.statement;
import static tips.Print.*;
/**
 *  牛頓迭代逼近法
 * 
 * @author (yqj2065) 
 * @version (2016.6)
 */
public class NewtonMethod{
    static double  epsilon = 1e-15;// relative error tolerance    
    public static double sqrt(double n) {
        double x  = 1.0;//x不能夠為0，下面x作為分母；修改為while語句，則可以令 x  = n;
        do{
            x = (x + n/x)/2.0;//
        }while( Math.abs(x*x-n ) >epsilon);
        return x;
    }
    public static void test(double x){
         pln("sqrt（"+x +"）="+sqrt(x) );
    }
}
 

滿足精度的條件 Math.abs(x*x-n ) >epsilon，對於很小的數，精度不夠因而不能計算出正確的答案；對於特別大的數，因為小數精度不足以表示兩個大數之間的差，所以sqrt 會陷入死迴圈。這些我們現在不予理會。 求一個數n的平方根，即求f(x) = x²-n =0的解。而任意的f(x)可以使用泰勒級數表示。 牛頓迭代法就是利用了泰勒公式的前兩項和，是泰勒公式的簡化。 x_n+1= x_n−f(x_n) /f^′(x_n)

• 按照簡化的泰勒公式，對於f(x) = x²-n，x_n+1=x_n−(  x_n²-n)  /2x_n=(  x_n²+n)  /2x_n 因此猜測值的變化規則為

  x = (x + n/x)/2.0;
   
  

• 牛頓逼近法與數列/級數求和的關係？任意的f(x)可以使用泰勒級數表示，兩者本質上一致。但是在不方便採用item與sum的方式計算時，簡化的牛頓迭代法容易獲得猜測值的變化規則，也容易比較f(x)>精度.

假設f(x) = x³-n，猜測值的變化規則x_n+1= x−(x³-n) /(3x²)= (2x³+n) /(3x²)= (2x+n/x²) /3，立即可得

    public static double cube_root(double n) {
        double x  = n;//
        while (Math.abs(x*x*x-n ) >epsilon) {
            x = (2*x + n/(x*x))/3.0;//pln(x);
        }
        return x;
    }
 

2.求方程的解

牛頓逼近法可以用於求方程的解。一個數n的平方根，其實是方程 x²-n=0的正數解(而且n被引數化)。假設求f(x) = x³-2x-3的某個根(注意，它可能有3個實根，我們沒有指定求1和2之間的根)。

    public static double f1() {
        double x  = 0;//
        while (Math.abs(x*x*x-2*x-3 ) >epsilon) {
            x = (2*x*x*x + 3)/(3*x*x-2);//pln(x);
        }
        return x;
    }

3.不動點

不動點是指對於函式f(x)，若f(n)=n。既然f(n)=n，自然有n=f(n)=f(f(n))=f(f(f(f(n))))... 那麼方程f(x)=0的解，也就是f(x)+x=x的解，或者說f(x)+x的不動點。 很容易寫出：

    public static double getFixedPoint(DoubleUnaryOperator duo){    
        double x  = 1.0;//
        while (Math.abs(x-duo.applyAsDouble(x) ) >epsilon) {
            x = duo.applyAsDouble(x);//pln(x);
        }
        return x;           
    }

雖然yqj2065覺得Java的高階函式是人妖，但是看起來像女人，那就是女人。         pln(getFixedPoint(y->Math.cos(y)));        0.7390893414033927
        pln(getFixedPoint(y->Math.sin(y)+Math.cos(y)));  1.2587228743052672

    public static void test(double x){
        pln("sqrt（"+x +"）="+sqrt(x) );        
        pln(getFixedPoint(y->(y+x/y)/2.0 ));        
    }

sqrt（9.0）=3.000000001396984
3.000000001396984

關於收斂問題，那是數學問題，yqj2065搞不定！ 無意中看見了老早的文章：Java語言學校的危險性 “如果真是這樣，課程6.001就是你的完美選擇。你可以先講Scheme語言，這種教學語言簡單到聰明學生大約只用10分鐘，就能全部學會。然後，你將這個學期剩下的時間，都用來講解不動點。”
我們敢不敢說：用10分鐘講一下不動點，然後，你將這個學期剩下的時間，都用來講解Java API程式設計。”