上下界問題

無源匯上下界求有無可行流

另取兩個附加匯點xx，附件源點yy.

u->v限制[L,R]$[L,R]$ <=> add_edge(u,xx,L),add_edge(yy,v,L),add_edge(u,v,R-L)

最後只需跑一遍 max_flow(yy,xx)檢驗與yy相連線的邊是否滿流即可

有源匯上下界求有無可行流時，只需在無源基礎上加上 add_edge(t,s,INF)

有源匯上下界求最大流

第一種

• 連上t->s流量為inf的邊，求一次附加源到附加匯的最大流
• 在殘量網路上求一次s到t的最大流
• 最後答案就是第二次求出的最大流（因為第一次求出的最大流是t->s的流量，而這個流量在他的反向邊s->t中出現，所以不需要另外加上）
• 為什麼這樣做呢？
• 依然感性的理解，第一次求出的(附加源到附加匯的)最大流是為了滿足down儘可能流滿，然而此時s->t上可能還有可行的流，我們在殘量網路上繼續來求最大流，可以使得最後求出的流既滿足≥down的限制，且最大。

第二種更易理解

就是將res = t->s流量，將最後一條邊刪除或cap賦值為零。加上跑一遍s->t的最大流。

有源匯上下界求最小流時

• 先不要連線t->s流量為inf的邊，求一次最大流
• 再連上t->s流量為inf的邊，在殘量網路上求一次最大流
• 為什麼這樣做呢？
• 感性的來理解，第一步中求最大流，所有能流的邊都“竭盡全力”的流完了； 第二步再求最大流的時候，t->s上的流量就會盡可能的小（即s->t的流量儘可能小）

一般技巧

1. 如果一個點的經過有時間的先後順序，那麼我們可以利用圖的有向性，和時間的有向性，來將其結合起來，將其擴大時間的點數。
2. 在已給了一些匹配後，需要我們根據一給出的圖給出最少修改次數，此時，就需要我們對原來一些匹配給出優化，就是在相同情況下給出優待，那麼怎麼給呢，將圖的權值擴充為原來最多點數的倍數，而以給出的匹配，我們就在額外將其權值加一，此時，最後得到的最大匹配和再最總點數取餘即可得到原來的邊數，而將總期望數除以總點數取整，就原有的值。
3. 雙向圖時，可以少建反邊。