二項分佈（Binomial distribution）

要介紹二項分佈，先要介紹伯努利實驗，然後自然而然就想到了拋硬幣問題，正面朝上的概率為p，反面朝上的概率為q (q = 1 - p)，假設正面朝上標記為1，反面朝上為0，則一次伯努利實驗的期望為p，方差為p*q。

二項分佈是對n次伯努利實驗正面朝上（或反面朝上）次數及其概率進行刻畫的一種離散分佈。
官方一點表述是n次獨立伯努利試驗成功次數的離散概率分佈（當n = 1時，又稱為伯努利分佈）。

二項分佈的概率表現形式(概率質量函式PMF)為：
Pr(X = k) = $($

假設B1，B2，，，Bn為n次獨立的伯努利試驗，根據期望和方差的公式：
二項分佈的期望為：
E(B1 + B2 + … + Bn) = nE(B1) = np
方差：
V(B1 + B2 + … + Bn) = nV(B1) = np*q

關於二項分佈的例子

1，連續獨立地拋硬幣n次，統計正面朝上的次數及其概率，它在理論上服從二項分佈（這是p = q = 0.5的情況）。
2，連續獨立地擲骰子（6個面）n次，統計點數為6的次數及其概率，這是p = 1/6，q = 5/6的情況。
3，在p比較小，n比較大時可以用泊松分佈來近似（一個保守的法則是n>= 100 & p <= 0.01）。
4，當npq >= 5 時，用正態分佈來近似二項分佈是合適的。

泊松分佈（Poisson distribution）

二項分佈的命名是因為有成功和失敗兩項，泊松分佈則是根據泊松這個人來命名的。它也是離散概率分佈，與稀有事件的發生有關。

考慮下面幾個事件：
1，整個下午通過某個不繁忙路口的汽車數服從泊松分佈。
將整個下午（時間長度為T）分成很多小段時間 $\Delta t$，對於每一小段，通過一輛車的概率為 $Pr(X = 1) = \lambda\Delta t（\lambda為單位時間內通過車輛的期望數）$，則整個下午通過該路口的車輛數服從引數為 $\lambda T$的泊松分佈。
2，面積為A的瓊脂培養皿上的細菌群體數服從泊松分佈。
將整個培養皿分成很多小塊 $\Delta A，在小區域內發現1個菌群的概率為Pr(X = 1) = \lambda \Delta A（\lambda為單位面積內菌群的期望數）$，則整個培養皿上的菌群數服從引數為 $\lambda A$的泊松分佈。
3，1年時間內得傷寒去世的人數服從泊松分佈
將一年的時間分成很多小段，跟前面一樣， $\lambda$ 為單位時間內死亡人數的期望值，則1年內因傷寒死亡人數的服從 $\lambda T$的泊松分佈。

上述幾個例子都滿足：

1，都是罕見事件；
2，將整體分成的小段間彼此獨立；
3，在整個長時間區間內，任一單位長度上事件的發生數不變化。

泊松分佈的其它例子：

1，普魯士陸軍被馬踢死的概率；
2，出生缺陷和基因突變；
3，每頁紙的列印錯誤；
4，麥當勞漢堡中的頭髮數；
5，每月機器出故障的次數。

泊松分佈的公式：

$Pr(X = k) = e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!}, k = 0,1,2...$
$\mu = \lambda t為指定時間發生事件的期望數$

可以證明泊松分佈的期望和方差都為 $\mu$，在 $\mu &gt; 10$時，泊松分佈可以很好地被同樣期望和方差的正態分佈所近似。