證明二類分類問題的泛化誤差上界
泛化誤差上界:
對二分類問題,當假設空間是有限個函式的集合F={f1,f2,f3,...,fn}時,對任意一個函式,至少以概率,以下不等式成立:
其中,
不等式右端第一項為訓練誤差,訓練誤差越小,泛化誤差就越小
第二項為N的單調遞減函式,當N趨於無窮時其趨於0,且假設空間包含的函式越多,其值越大
以下為證明過程:
首先,因為證明過程要用到Hoeffding不等式,敘述如下:
設是獨立隨機變數X1,X2,...,Xn之和,,則對任意t>0,以下不等式成立:
現有,對任意,是N個獨立隨機變數L(Y,f(X))的樣本均值,是隨機變數L(Y,f(X))的期望值,損失函式取值於區間[0,1],即對所有i,[ai,bi]=[0,1]則有:
因為
因此,由Hoeffding不等式得:
因為,假設空間是一個有限集合,則有:
等價於:
令,則至少以概率有成立
因此,訓練誤差小的模型,泛化誤差也會小
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