題目描述

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。

求解思路

剛開始是想要通過遞迴模擬求解，結果超時了。但是這樣肯定能求出解來，不過計算了大量重複的程式碼，複雜度應該是指數級的。 正確的思路應該是：

• 先計算出最多能放幾個2步，假設是n個
• i從1到n，計算i個2步的情況下步法的組合數，所有組合數累加到sum上
• sum+1是最終解，因為全是1的情況也要考慮

複習排列組合的公式： $A_{n}^{m}=n(n-1)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

解題程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 

// 這是超時的，但是結果正確
class Solution_failed {
  public:
    int jumpFloor(int number) {
        int sum = 0;
        if(number == 0) {
            return 1;
        } else if(number < 0) {
            return 0;
        } else {
            sum += jumpFloor(number - 1);  // 跳一個
            sum += jumpFloor(number -
 
 2);  // 跳兩個
            return sum;
        }
    }
};

// 這是AC的程式碼，使用了階乘
class Solution {
  public:
    int jumpFloor(int number) {
        // 只要確定了2步的位置，1步的位置隨便插入
        int n = number / 2;
        int sum = 1;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            // 注意，每增加一個2，總的空位置就要少一個，
            int t = comp(number - i, i);
            sum += t;
        }
        return sum;
    }
    // 計算組合數
    int comp(int n, int k) {
        long long up = 1, down = 1;
        for(int i = n; i >= n - k + 1; i--) {
            up *= i;
        }
        for(int j = k; j >= 1; j--) {
            down *= j;
        }
        return up / down;
    }
};

// 以下是測試
int main() {
    Solution_failed sof;
    Solution so;
    for(int i = 1; i <= 10; ++i) {
    	// 輸出結果一致 
        cout << sof.jumpFloor(i) << "," << so.jumpFloor(i) << endl;
    }
    return 0;
}