演算法導論學習筆記5-1,2

問題複述： 假設要僱傭一名新的辦公助理，你先前的僱用嘗試都失敗了，於是你決定找一個僱傭代理。僱傭代理每天給你推薦一個應聘者。你面試這個人，然後決定是否僱傭他。你必須付給僱傭代理一筆小的費用，以便面試應聘者。然後要真的僱傭一個應聘者需要花更多的錢，因為你必須辭退目前的辦公助理，還要付一大筆中介費給僱傭代理。你承諾在任何時候，都要找最合適的人來擔任辦公助理。因此，你決定在面試完每個應聘者之後，如果該應聘者比目前的辦公助理更合適，就會辭掉當前的辦公助理，然後聘用新的。你願意為該策略付費，但希望能夠估算該費用會是多少。

假設總共有n個應聘者，並且當你面試每個應聘者的時候都需要給中介的費用為Ci，你每決定僱傭一個應聘者需要的費用為Ch，你總共僱用了m個應聘者。則總花費為（Cin+Chm）
 

首先看到策略問題，首想到最壞情況和最優情況。

最壞情況：所謂最壞情況，也就是將僱傭了每個面試者，即這些面試者的質量從小到大一次出現。此時所需的費用就是最大值，即（Cin+Chn）。 最優情況：此時就是隻僱傭了第一個人，也就是說第一個人的質量是最好的，雖然也面試了後面的所有人，但是都沒有僱傭。此時的花費為（Cin+Ch）

此時，可以知道最壞情況僱傭了n個人，最優情況僱傭了1一個人。

在分析時，當然不能簡單的只考慮最壞和最優的情況，而是要考慮平均情況。此時，就需要更運用概率論的相關知識。

引入一個概念–指示器隨機變數 所謂指示器隨機變數，非定一個樣本空間s和一個時間a，那麼a對應的指示器隨機變數I（a）=1（a發生），0（a不發生） 那麼算此時的指示器隨機變數的期望就變得很簡單了，即 E【I（a）】=P（a）

回到僱傭問題，假設僱傭了第i個應聘者，則設Xi=I（a） E【Xi】=E【I（a）】=P（a）=P（應聘者i被僱傭的概率）

接下來就是求得P（應聘者i被僱傭的概率）

應聘者i被僱傭，也就是說在包含i這個人的總共i個人裡面，第i個人的質量是最好的，而這i個人的位置是隨機的，也就是說最優秀的這個人在第i個位置的概率是1/i，所以求得P（應聘者i被僱傭的概率） 就是1/i。

綜上，此時的1/i為僱傭了第i個應聘者的概率，那麼總共有n個人，因為每個人被僱傭這個事件是相互獨立的，那就要將每個人被僱傭的概率相加。即第1個人被僱傭的概率+第2個人被僱傭的概率+…+第n個人被僱傭的概率。 所以數學表示式就為 =lnn