01揹包是經典的DP問題，個人是看這位的blog看懂的：點這裡~~~~~~
感覺這個講的十分詳細，很好理解。

借一個例題來示範吧（洛谷 P1049 裝箱問題）

題目描述：

有一個箱子容量為 V（正整數，0 ≤ V ≤ 20000），同時有n個物品（0< n ≤30），每個物品有一個體積（正整數）。

要求n個物品中，任取若干個裝入箱內，使箱子的剩餘空間為最小。

輸入格式：

1個整數，表示箱子容量
1個整數，表示有n個物品
接下來n行，分別表示這n個物品的各自體積

輸出格式：

1個整數，表示箱子剩餘空間。

為使箱子剩餘空間最小，那就是裝入的物品總體積要最大，典型的揹包問題，DP思想就不多說了。

先看無優化的程式碼（二維陣列）：

#include<iostream> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n, V, v[35];
    int dp[35][20005];
    int i, j;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));   //初始化為0
    cin >> V >>
 
 n;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i];
    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= V; j++)
        {
            if (v[i] <= j)    //如果 i 還裝得下，就比較裝入 i 和不裝入 i 的收益。
                dp[i][j] = max(v[i] + dp[i - 1][j - v[i]], dp[i - 1][j]);
            else              
                dp[
 
i][j] = dp[i - 1][j];  //如果 i 裝不下，就繼承上一個的收益。
        }
    cout << V - dp[n][V] << endl;
    return 0;
}

· 優化

這裡可以進行空間優化，將二維陣列換為一維陣列，時間也能相對優化一些。
重點在於一維陣列 dp[200005] 的自更新，觀察一下這部分程式碼：

for (j = 1; j <= V; j++)
{
	if (v[i] <= j)
		dp[i][j] = max(v[i] + dp[i - 1][j - v[i]], dp[i - 1][j]);
	else
		dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}

①可以看到當 v[i] > j 時，執行dp[i][j] = dp[i - 1][j]，所以在一維陣列中，這些部分就不需要變動了 。

②再者，當 j <= v[i] 時，執行 dp[i][j] = max(v[i] + dp[i - 1][j - v[i]], dp[i - 1][j])；
可以看到，以 j = 3為例，dp[i][3]只可能和dp[i-1][3]、dp[i-1][2]、dp[i-1][1]、dp[i-1][0] 有關，所以一維陣列只要從後向前更新，就不會有影響。

那麼優化後的這段程式碼為：

for (j = V; j >= v[i]; j--)    //從V開始，更新到 v[i] 停止
{
	dp[j] = max(v[i] + dp[j - v[i]], dp[j]);
}

以下優化後完整程式碼：

#include<iostream> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n, V, v[35];
    int dp[20005];
    int i, j;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));   //依舊要初始化
    cin >> V >> n;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i];
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (j = V; j >= v[i]; j--)
        {
            dp[j] = max(v[i] + dp[j - v[i]], dp[j]);
        }
    }
    cout << V - dp[V]<< endl;
    return 0;
}