轉自http://www.cppblog.com/tanky-woo/archive/2010/07/31/121803.html
首先說下動態規劃，動態規劃這東西就和遞迴一樣，只能找區域性關係，若想全部列出來，是很難的，比如漢諾塔。你可以說先把除最後一層的其他所有層都移動到2，再把最後一層移動到3，最後再把其餘的從2移動到3，這是一個直觀的關係，但是想列舉出來是很難的，也許當層數n=3時還可以模擬下，再大一些就不可能了，所以，諸如遞迴，動態規劃之類的，不能細想，只能找區域性關係。

1.漢諾塔圖片

（引至杭電課件:DP最關鍵的就是狀態，在DP時用到的陣列時，也就是儲存的每個狀態的最優值，也就是記憶化搜尋）

要了解揹包，首先得清楚動態規劃：

動態規劃演算法可分解成從先到後的4個步驟：

1. 描述一個最優解的結構；

2. 遞迴地定義最優解的值；

3. 以“自底向上”的方式計算最優解的值；

4. 從已計算的資訊中構建出最優解的路徑。

其中步驟1~3是動態規劃求解問題的基礎。如果題目只要求最優解的值，則步驟4可以省略。

揹包的基本模型就是給你一個容量為V的揹包 在一定的限制條件下放進最多(最少?)價值的東西

當前狀態→ 以前狀態

看了dd大牛的《揹包九講》(點選下載)，迷糊中帶著一絲清醒，這裡我也總結下01揹包，完全揹包，多重揹包這三者的使用和區別，部分會引用dd大牛的《揹包九講》，如果有錯，歡迎指出。

((www.wutianqi.com)留言即可)

首先我們把三種情況放在一起來看：

01揹包（ZeroOnePack）:

有N件物品和一個容量為V的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

完全揹包(CompletePack):

有N種物品和一個容量為V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

多重揹包(MultiplePack):

有N種物品和一個容量為V的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

比較三個題目，會發現不同點在於每種揹包的數量，01揹包是每種只有一件，完全揹包是每種無限件，而多重揹包是每種有限件。

01揹包

01揹包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一個容量為V的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把這個過程理解下：在前i件物品放進容量v的揹包時，

它有兩種情況：
第一種是第i件不放進去，這時所得價值為:f[i-1][v]

第二種是第i件放進去，這時所得價值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
（第二種是什麼意思？就是如果第i件放進去，那麼在容量v-c[i]裡就要放進前i-1件物品）

最後比較第一種與第二種所得價值的大小，哪種相對大，f[i][v]的值就是哪種。

（這是基礎，要理解！）

這裡是用二位陣列儲存的，可以把空間優化，用一位陣列儲存。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量為v的揹包裡得到的價值。把i從1~n(n件)迴圈後，最後f[v]表示所求最大值。
*這裡f[v]就相當於二位陣列的f[i][v]。那麼，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重點！思考）
首先要知道，我們是通過i從1到n的迴圈來依次表示前i件物品存入的狀態。即：for i=1..N
現在思考如何能在是f[v]表示當前狀態是容量為v的揹包所得價值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]標籤前一狀態的價值？

逆序

這就是關鍵！

1for i=1..N//物品的個數
2   for v=V..0//包內剩餘的（放之前）體積
3        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
4

分析上面的程式碼：當內迴圈是逆序時，就可以保證後一個f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一狀態的！
這裡給大家一組測試資料：

測試資料：
10,3
3,4
4,5
5,6

這個圖表畫得很好，藉此來分析：

C[v]從物品i=1開始，迴圈到物品3，期間，每次逆序得到容量v在前i件物品時可以得到的最大值。（請在草稿紙上自己畫一畫）

程式碼二維陣列
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int p[1005],v[1005];
int dp[1005][1005];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int i,j;
        memset(p,0,sizeof(p));
        memset(v,0,sizeof(v));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n,v1;
        scanf("%d%d",&n,&v1);
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&p[i]);
        }
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            scanf("%d",&v[j]);
        }
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=0; j<=v1; j++)
            {
                if(j<v[i])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][v1]);
    }
    return 0;
}

程式碼 一維
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v1[1005];
int w[1005];
int f[1005];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(v1,0,sizeof(v1));
        memset(w,0,sizeof(w));
        memset(f,0,sizeof(f));
        int i,j;
        int n,v;
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&v1[i]);
        }
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            scanf("%d",&w[j]);
        }
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=v; j>=w[i]; j--)
            {
//                if(j<w[i])
//                    f[j]=f[j];
//                else
                    f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v1[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",f[v]);
    }
    return 0;
}

分析

具體根據上面的解釋以及我給出的程式碼分析。這題很基礎，看懂上面的知識應該就會做了