資料結構與演算法19-圖的最小生成樹
我們把構造連通網的最小代價生成樹稱為最小生成樹（Minimum Cost Spanning Tree）
普里姆（Prim）演算法
也就是說，現在我們已經有一個儲存結構
MGraph的G，它的arc二維陣列如圖所示。陣列中我們用65535代表∞
於是普里母演算法程式碼如下。其中INFINITY權值極大值，這裡用65535代表，MAXVEX為頂點個數最大值，此處大於等於9即可。分析MiniSpanTree_Prim函式，輸入上圖中的矩陣後，看看它是如何執行並打印出最小生成樹的。
/*Prim 演算法生成最小生成樹*/ void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) { int min,i,j,k; int adjvex[MAXVEX]; //儲存相關頂點下標 int lowcost[MAXVEX];//儲存相關頂點間邊的權值 lowcost[0] = 0; //初始化第一個權值為0，即v0加入生成樹 //lowcost的值為0，在這裡就是此下標的頂點已加入生成樹 adjvex[0]=0; //初始化第一個頂點下標為0 for(i=1;i<G.numVertexes;i++){ { lowcost[i]=G.arc[0][i]; //將v0頂點與之有邊的權值存入陣列。 adjvex[i]=0; //初始化都為v0的下標 } for(i=1;i<G.numVertexes;i++) { min = INFINTY; //初始化最小權值為∞ j=1;k=0; while(j<G.numVertexes) { //迴圈全部頂點 if(lowcost[j]!=0 &&lowcost[j]<min) { min =lowcost[i]; //讓當前權值成為最小值 k=j; //將當前最小值的下標存入k } j++; } printf(“%d,%d”,adjvex[k],k); //列印當前頂點邊中權值最小的邊 lowcost[k] = 0; //將當前頂點權值 設定成0表示此頂點已完成任務 for(j=1;j<G.numVertexes;j++) { if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j]<lowcost[j]) lowcost[j] =G.arc[k][j]; adjvex[j] = k; } } }
1. 程式開始執行，我們前4~6行，建立了兩個一維陣列lowcost和adjvex，長度都為頂點個數9。
2. 接下來分別給這兩個陣列的第一個下標位賦值為0，adjvex[0]=0其實意思就是我們現在從v0開始（事實上，最小生成樹從哪個頂點開始計算都無所謂，我們假定從v0開始），lowcost[0]=0表示v0已經被納入到最小生成樹中，之後凡是lowcost陣列中的值為0就是表示此下標的頂點被納入最小生成樹。
3. 接下來的迴圈我們讀取鄰接矩陣的第一行資料。將數值賦值給lowcost陣列，所以此時lowcost陣列為：{0,10,65535, 65535, 65535,11, 65535, 65535, 65535}，而arjvex則全部為0。此時我們已經完成整個初始化工作，準備開始生成。
4. 接下來的迴圈過程就是構造最小生成樹過程
5. 將min值設定為65535，它的目的是為了之後找到一定範圍內的最小權值。j是用來做頂點下標迴圈的變數，k是用來儲存最小權值的頂點下標
6. 迴圈中不斷修改min為當前lowcost陣列中最小的值，並用k保留此最小值的頂點下標。經過迴圈後，min=10,k=1;注意這裡有個if判斷lowcost[j]!=0表示已經是生成樹的頂點不參與最小權值的查詢。
7. 列印k=1,adjvex[1]=0，所以結果為(0 1)，表示v0至v1邊為最小生成樹第一條邊。如圖
8. lowcost[k] = 0;這句話的意思是目前k=1我們將lowcost[k]=0就是說頂點v1納入到最小生成樹中。此時lowcost陣列值為{0,0,65535, 65535, 65535,11, 65535, 65535, 65535}
9. 接下來的迴圈，j迴圈由1至8，因k=1，查詢鄰接矩陣的第v1行的各個可權值，與lowcost的對應值比較，若更小則修改lowcost值，並將k值存入adjvex陣列中。因第v1行有18,16,12均比65535小，所以最終lowcost陣列的值為
{0,0,65535, 65535,11,16, 65535,12}
adjvex陣列的值為：
{0,0,1,0,0,0,1,0,1}。這裡的if判斷lowcost[j]!=0也說明v0和v1已經是生成樹的頂點不參與最小權值的比對了。
10. 再次迴圈，由第15行到第26行，此時min=11,k=5,adjvex[5]=0。因此列印結構為（0,5)。表示v0至v5邊為最小生成樹的第二邊，如下圖
11. 接下來執行到36行，lowcost陣列的值為：{0,0,18,65535,26,0,16,65535,12}。adjvex陣列的值為{0,0,1,0,5,0,1,0,1}
12. 之後，依次模擬了。通過不斷的轉換，構造的過程如圖
有了上面的推演，普里姆（Prim）演算法的實現定義可能就容易理解一些
假設N=(V,{E})是連通圖，TE是N上最小生成樹中邊的集合。演算法從U={U0}(U0∈V)，TE={}開始。重複執行下述操作：在所有u∈U,v∈V-U的邊（u,V）∈E中找一條代價最小的邊（u0,v0）併入集合TE，同時V0併入U，直至U=V為止。此時TE中必須n-1條邊，則T={V,{TE}}為N的最小生成樹。
由演算法程式碼中的迴圈巢狀可得知此演算法的時間複雜度為O(n2)
克魯斯卡爾演算法
我們可以直接就以邊為目標去構建，因為權值是在邊上，直接去找最小權值的邊來構建生成樹也是很自然的想法，只不過構建時要考慮是否會形成環路而已。此時我們就用到了圖的儲存結構中的邊集陣列結構。
程式碼如下：
typedef struct
{
int begin;
int end;
int weight;
}Edge;我們的鄰接矩陣通過程式轉化如下圖右圖的邊集陣列，並且它們按權值從小到大排序。
於是克魯斯卡爾（Kruskal）演算法程式碼如下，其中MAXEDGE為邊數量的極大值，此處大於等於15即可。MAXVEX為頂點個數最大值，此處大於等於9即可。接下來我們模擬一下MiniSpanTree_Kruskal函式
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
int i,n,m;
Edge edges[MAXEDGE];//定義邊集陣列
int parent[MAXVEX]; //定義一陣列來判斷邊與邊是否形成環路
/*此處省略將鄰接矩陣G轉化為邊集陣列edges並按權由小到大排序的程式碼*/
for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
parent[i] = 0;
for(i=0;i<G.numEdges;i++)
{
n=Find(parent,edges[i].begin);
m=Find(parent,edges[i].end);
if(n!=m)
{
parent[n] = m;
print(“(%d,%d) %d”,edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight)
}
}
}
int Find(int *parent,int f)
{
while(parent[f]>0)
f=parent[f];
return f;
}
1. 宣告陣列parent，並將它的值都初始化為0，它的作用我們後面慢慢說。
2. 我們開始對邊集陣列做迴圈遍歷，開始時，i=0。
3. 第10行我呼叫了Find函式，傳入的引數是陣列parent和當前權值最小邊（v4,v7）的begin:4。因為parent中全都是0，所以傳出的值使得n=4。
4. 第11行，同樣作法，傳入（v4,v7）的end:7。傳出值使得m=7。
5. 第12~16行，很顯然n與m不等，因此parent[4]=7。此時parent陣列值為
{0,0,0,0,7,0,0,0,0}，並且列印得到“（4,7）7”。們已經將邊（v4,v7）納入到最小生成樹中，
6. 迴圈返回，執行10~16行，此時i=1，edge[1]得到邊（v2,v8）,n=2，m=8,parent[2]=8，列印結果為“（2,8）8”，此時parent陣列為{0,0,8,0,7,0,0,0,0}此時parent陣列值為{0,0,8,0,7,0,0,0,0}，這也就表示邊(v4,v7)和(v2,v8)已經納入到最小生成樹如下圖。
7. 再次執行10~16行，此時i=2，edge[2]得到邊(v0,v1)，n=0，m=1，parent[0]=1，列印結果為“（0,1）10”，此時parent陣列值為{1,0,8,0,7,0,0,0,0}，此時邊(v4,v7)、(v2,v8)和(v0,v1)已經納入到最小生成樹。
8. 當i=3、4、5、6、時，分別將邊(v0,v5)、(v1,v8) 、(v3,v7) 、(v1,v6)納入到最小生成樹中，如圖。此時parent陣列值為{1,5,8,7,7,8,0,0,6}，怎麼去解讀這個陣列現在這些數字的意義呢?
最右圖i=6的粗線連線可以得到，我們其實是有兩個連通的邊集合A與B中納入到最小生成樹中的，當parent[0] = 1,表示v0和v1已經在生成樹的邊集合A中。parent[1]=5，表示v5和v8在邊集合A中，parent[5]=8表示v5和v8在邊集合A中，parent[6]=0表示集合A暫時到頭，此時邊集合A有v0、v1、v5、v8、v6。我們檢視parent中沒有檢視值，parent[2]=8表示v2和v8在一個集合中，因此v2也在邊集合A中。再parent[3]=7、parent[4]=7和parentp[7]=0可知v3,v4,v7在另一個邊集B中。
9. 當i=7時，第10行，呼叫Find函式，會傳入引數edges[7]。begin=5。此時第21行，parent[5]=8>0，所以f=8，再迴圈得parent[8]=6。因parent[6]=0所以Find返回第10行得到n=6。而此時第11行，傳入引數edges[7]。end=6得到m=6。此時n=m，不再列印，繼續下一迴圈。這就告訴我們，因為邊(v5,v6)使得邊集合A形成環路。因此不能將它納入到最小生成樹中
10. 當i=8時，與上面相同，由於邊(v1,v2)使得邊集合A形成了環路。因此不能將它納入到最小生成樹，
11. 當i=9時，邊(v6,v7)，第10行得到n=6，第11行得到m=7，因此parent[6]=7，列印“（6 7）19”,此時parent陣列值為{1,5,8,7,7,8,7,0,6}
12. 此後的迴圈均造成環路，最終最小生成樹好
定義：假設N=（V,{E}）是連通網，則令最小生成樹的初始狀態為只有n個頂點而無邊的非連通圖T={V,{}},圖中每個頂點自成一個連通分量。在E中選擇代價最小的邊，若該邊依附的點T中不同的連通分量上，則將此邊加入到T中，否則捨去此邊而選擇下一條代價最小的邊。依次類推，直至T中所有頂點都在同一連通分量上為止。
對比兩個演算法，克魯斯卡爾演算法主要是針對邊來展開，邊數少時效率會非常高，所以對於稀疏圖有很大的優勢；而普里姆演算法對於稠密圖，即邊數非常多的情況會更好一些。