矩陣

本質：矩陣是個數表；從線性變換的視角看，矩陣是記錄線性變換這一過程的描述資訊。記為 $A_{m\times n}$

特殊矩陣及其性質

同型矩陣

具有相同行數和列數的矩陣，稱為同型矩陣。

方矩陣

如果 $m$ 等於 $n$ ,稱為 $n$ 階（方）矩陣，記為 $A_{n}$。

零矩陣

所有元素為零的矩陣稱為零矩陣，記為 $O$ 或 $O_{m \times n}$。

三角矩陣

設 $A=\{a_{ij}\}_{n}$是 n 階方陣，若：

1. $A$ 的元素滿足 $a_{ij}=0$, $\forall i \gt j$ ,稱 $A$ 為上三角矩陣。

2. $A$ 的元素滿足 $a_{ij}=0$, $\forall i \lt j$ ,稱 $A$ 為下三角矩陣。

對角矩陣

元素滿足 $a_{ij}=0,\forall i \neq j$ ，記為 $A=diag\{a_{11},a_{22},...,a_{nn}\}=diag\{a_{ii}\}$ 。

單位矩陣

對角元素為1的三角矩陣，記為 $I$ 或 $I_{n}$ 。

對稱矩陣

設 $A=\{a_{ij}\}_{n}$是 n 階方陣，若：

1. $A$ 的元素滿足 $a_{ij}=a_{ji} \quad\forall i,j \quad \Longleftrightarrow \quad A^T=A$
2. $A$ 的元素滿足 $a_{ij}=-a_{ji} \quad\forall i,j \quad \Longleftrightarrow \quad A^T=-A$

矩陣的基本運算及其規則

$A(B+C)=AB+AC$

$(B+C)A=BA+CA$

$(AB)C=A(BC)$

$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ ,其中 $\lambda$ 是一個數。

$AI=IA=A$

$A^{k+l}=A^{k}A^{l}$

$(A^{k})^l=A^{kl}$

$A^0=I$ （特別規定）

$(A^T)^T=A$

$(A+B)^T=A^T+B^T$