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矩陣及其基本運算

一、矩陣

矩陣是什麼呢?如果你去書本或者網上查資料,會得到如下東西:

在數學中,矩陣(Matrix)是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合,最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。矩陣是高等代數學中的常見工具,也常見於統計分析等應用數學學科中。其定義如下:

由 m × n 個數aij排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣,簡稱m × n矩陣。記作:

矩陣定義

這m×n 個數稱為矩陣A的元素,簡稱為元,數aij位於矩陣A的第i行第j列,稱為矩陣A的(i , j)元,以數 aij為(i , j)元的矩陣可記為(aij)或(aij)m × n,m×n矩陣A也記作Amn 。元素是實數的矩陣稱為實矩陣,元素是複數的矩陣稱為復矩陣。而行數與列數都等於n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。

然後還有矩陣的歷史、詞源來歷等等。

但是,看完這些定義等的, 還是糊塗,為什麼會有矩陣呢?為什麼要這樣定義呢?要矩陣有什麼用呢?

矩陣是線上性代數這門課裡學的,其實,矩陣是應線性方程式而生的,將線性方程組的係數及常陣列成矩陣,一開始的矩陣就是這麼來的。這樣就可以將線性方程式的研究轉化為矩陣的研究,簡化了研究。線性代數是向量計算的基礎,很多重要的數學模型都要用到向量計算,所以,矩陣的研究與計算最終將影響的是向量計算。好了,嘮叨了這麼多,還沒說重點呢:矩陣的本質就是線性方程式,兩者是一一對應關係。下面是它的複雜版本矩陣的實質意義

給定了線性變換,它的係數所構成的矩陣也就確定。線性變換和矩陣之間存在著一一對應的關係。正是由於矩陣和線性變換之間存在著一一對應關係,因此可以利用矩陣來研究線性變換,也可以利用線性變換來解釋矩陣的涵義。

二、矩陣的基本運算

矩陣的基本運算為:加、減、乘法及數乘。

加、減法及數乘都很簡單,加法就是相同位置的數字加一下,減法也類似。矩陣乘以一個常數,就是所有位置都乘以這個數。

但是乘法就比較複雜了,計算規則是:矩陣第m行與第n列交叉位置的那個值,等於第一個矩陣第m行與第二個矩陣第n列,對應位置的每個值的乘積之和。

如下圖所示,第一個矩陣第一行的每個數字(2和1),各自乘以第二個矩陣第一列對應位置的數字(1和1),然後將乘積相加( 2 x 1 + 1 x 1),得到結果矩陣左上角的那個值3。

矩陣乘法

這個規則確實也是有點複雜而奇怪的,上學的時候也僅僅是記住了這個規則,因為要考試嘛,從來沒有想過為什麼是這樣,今天查矩陣的時候偶然看到一位前輩的文章:

http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/09/matrix-multiplication.html,認真拜讀後整理過來,加深一下自己對矩陣乘法規則的理解和矩陣本質的理解。

結合矩陣的本質,從線性方程式的角度,理解矩陣乘法就毫無難度。

下面是一組線性方程式。

這裡寫圖片描述

矩陣的最初目的,只是為線性方程組提供一個簡寫形式。

這裡寫圖片描述

老實說,從上面這種寫法,已經能看出矩陣乘法的規則了:係數矩陣第一行的2和1,各自與 x 和 y 的乘積之和,等於3。不過,這不算嚴格的證明,只是線性方程式轉為矩陣的書寫規則。

下面是嚴格的證明。有三組未知數 x、y 和 t,其中 x 和 y 的關係如下。

這裡寫圖片描述

x 和 t 的關係如下。

這裡寫圖片描述

有了這兩組方程式,就可以求 y 和 t 的關係。從矩陣來看,很顯然,只要把第二個矩陣代入第一個矩陣即可。

這裡寫圖片描述

從方程式來看,也可以把第二個方程組代入第一個方程組。

這裡寫圖片描述

上面的方程組可以整理成下面的形式。

這裡寫圖片描述

最後那個矩陣等式,與前面的矩陣等式一對照,就會得到下面的關係。

這裡寫圖片描述

矩陣乘法的計算規則,從而得到證明。

參考:

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