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機器學習 矩陣的基本運算

矩陣的基本概念

假設 aijR, 其中 i=1,2,...,m; j=1,2,...,n. 我們定義如下的行列式:

A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn
是一個維數為 m×n 的實數矩陣。有時候我們會用如下的表示式來表示一個矩陣:
A=[aij],i=1,2,...,m;j=1,2,...,n
這表示一個mn列的矩陣,下標的第一個數i表示行,第二個數j表示列。
列向量定義: 一個向量可以看成是隻有一列的矩陣,所以,這裡討論的所有向量都預設為列向量。
符號定義: 矩陣用大寫的粗體字母表示,比如矩陣A,B,X, 而向量用小寫的粗體字母表示,比如向量a
,b,x
.
矩陣的轉置: 矩陣A的轉置為AT.
矩陣的逆: 如果一個矩陣A存在逆矩陣,則該逆矩陣表示為A1.
矩陣的 determinant: 如果一個矩陣A是一個方陣,則它的determinant表示為|A|
單位矩陣表示為 I, 零矩陣空矩陣表示為0
矩陣的跡: 如果一個矩陣是 n×n 的方陣,則該矩陣的跡(trace) 為 trA=ni=1aii, 等於所有主對角線元素之和,一個實數的跡是它本身,
矩陣的跡滿足下列關係:
trAT=trAtrAB=trBAtrABC=trCAB=trBCA

矩陣的乘法

A 是一個 m×n 的矩陣,B 是一個 n×p的矩陣, 則兩者的乘積A

B 表示為:

C=AB
其中 C 是一個 m×p 的矩陣,C 中的任意一個元素 cij 表示為:
cij=k=1naikbkji=1,2,...,m;j=1,2,...,n
類似的,一個m×n 的矩陣 A 與一個n×1 的列向量 x相乘, 等於
z=Axzi