矩陣論 兩週上課的知識總結
阿新 • • 發佈：2018-12-14
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行列式（det(A)）：
表示一個數（行列式中所有不同行不同列的元素乘積的代數和，每一項的符號與列標的逆序數有關）。計算時，通常用任意一行或一列的各元素與其代數餘子式的乘積之和來表示。
行列式的運算規則：略
矩陣：
一個由個數組成的m行n列的數表，如
維、
維
每個方陣對應一個行列式。
單位矩陣：對角線為1，其他值為0的方陣
矩陣的逆：可以通過矩陣的行列式來求解
矩陣的秩r（rank(A)）：矩陣的行列式不為0的子式的最高階數。
矩陣的初等變換：1 互換兩行（列）
2 常數k乘以某一行（列）
3 常數k乘以某一行（列）加到另一行（列）
初等方陣：對單位矩陣進行一次初等變換所得到的方陣。
經過初等變換得到的矩陣與原矩陣等價，初等變換不改變矩陣的秩
對矩陣A進行一次初等行（列）變換，就相當於左（右）乘一個相應的初等方陣
線性方程組的解法：
對其增廣矩陣進行初等變換為階梯形矩陣。若r=n，則有唯一解，若r<n，則有無窮多解。齊次線性方程組：基礎解系包含n-r個解（n-r個自由量），若係數行列式det(A)=0，則存在非零解。
相似矩陣：
特徵向量：
其中，特徵向量構成的矩陣即為P（可使矩陣A對角化）。
求矩陣的特徵值，特徵向量，判斷是否可對角化的過程：
求出矩陣的特徵多項式->其根為特徵值->特徵值代入特徵多項式->求出對應特徵向量->若幾何重數小於代數重數，即線性無關的特徵向量的個數小於n->則不能化為對角形（但可化為Jordan型）
注意：n個線性無關的特徵向量不代表矩陣的秩為n，兩者並沒有直接關係。
約當（Jordan）型：
由若干約當塊組成。任何方陣都可以通過相似變換化為約當型
求矩陣的約當型的步驟（3種方法）：
- 特徵多項式矩陣->經過初等變換，化為史密斯標準型->求出不變因子->分解求出初等因子->每個初等因子對應一個約當塊->組合成為約當型
- 特徵多項式矩陣->求出k階子式的最大公因式->高階除以低階，由此得出初等因子->每個初等因子對應一個約當塊->組合成為約當型
- 步驟同前面求可對角化矩陣特徵向量的過程，只是求出的特徵向量個數小於n，說明那個特徵值對應的空間維數小於其重根數，則這個特徵值對應一個（也可能是多個）約當塊，其他的特徵值對應對角線上的一個值。