題目

定義： 一個不含圈的有向圖G中，G的一個路徑覆蓋是一個其結點不相交的路徑集合P，圖中的每一個結點僅包含於P中的某一條路徑。路徑可以從任意結點開始和結束，且長度也為任意值，包括0。請你求任意一個不含圈的有向圖G的最小路徑覆蓋數。

提示：最小路徑覆蓋數＝G的定點數－最小路徑覆蓋中的邊數
最小路徑覆蓋數＝原圖G的頂點數－二分圖的最大匹配數

題解

把原圖的每個點拆成兩個點，然後從有向邊的起點向終點連線，其中起點全部放在二分圖的同一邊。
這時可以把n個點看成獨立的一個路徑，然後選擇一個匹配就是把兩個路徑連起來。可以看出同一個起點不能連出兩條匹配，因為同一條路徑方向不能改變，同理同一個終點也是這樣，符合匹配的定義。
最後答案=頂點數-最大匹配數

時間複雜度 $O(n^3)$

程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int t,n,m,cnt;
int ls[150],ne[20005],y[20005],link[150];
bool cover[150];

bool dfs(int k){
	for (int i=ls[k];i;i=ne[i])
	if (!cover[y[i]]){
		int t=link[y[i]];
		link[y[i]]=k;
		cover[y[i]]=1;
		if (t==0||dfs(t)) return 1;
		link[y[i]]=t;
	}
	return 0;
}

int main(){
	scanf("%d",&t);
	for (;t;t--){
		scanf("%d",&n);
		scanf("%d",&m);
		cnt=0;
		memset(link,0,sizeof(int)*(n+3));
		memset(ls,0,sizeof(int)*(n+3));
		for (int i=1;i<=m;i++){
			int a,b;
			scanf("%d%d",&a,&b);
			ne[++cnt]=ls[a];ls[a]=cnt;y[cnt]=b;
		}
		int ans=n;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			memset(cover,0,sizeof(bool)*(n+3));
			if (dfs(i)) ans--;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}
 

心之所至，是為天上錦繡；心之所安，是為人間繁華