圖的儲存結構(鄰接矩陣與鄰接表)及其C++實現
一、圖的定義
圖是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為：
G=(V，E)
其中：G表示一個圖，V是圖G中頂點的集合，E是圖G中頂點之間邊的集合。
注：
線上性表中，元素個數可以為零，稱為空表；
在樹中，結點個數可以為零，稱為空樹；
在圖中，頂點個數不能為零，但可以沒有邊。
二、圖的基本術語
略。
三、圖的遍歷
圖的遍歷是在從圖中某一頂點出發，對圖中所有頂點訪問一次且僅訪問一次。
圖的遍歷操作要解決的關鍵問題：
① 在圖中，如何選取遍歷的起始頂點？
解決方案：從編號小的頂點開始 。
線上性表中，資料元素在表中的編號就是元素在序列中的位置，因而其編號是唯一的； 在樹中，將結點按層序編號，由於樹具有層次性，因而其層序編號也是唯一的； 在圖中，任何兩個頂點之間都可能存在邊，頂點是沒有確定的先後次序的，所以，頂點的編號不唯一。 為了定義操作的方便，將圖中的頂點按任意順序排列起來，比如，按頂點的儲存順序。
② 從某個起點始可能到達不了所有其它頂點，怎麼辦？
解決方案：多次呼叫從某頂點出發遍歷圖的演算法。
③ 因圖中可能存在迴路，某些頂點可能會被重複訪問，那麼如何避免遍歷不會因迴路而陷入死迴圈。
解決方案：附設訪問標誌陣列visited[n] 。
④ 在圖中，一個頂點可以和其它多個頂點相連，當這樣的頂點訪問過後，如何選取下一個要訪問的頂點？
解決方案：深度優先遍歷和廣度優先遍歷。
1、深度優先遍歷
基本思想 ：
⑴ 訪問頂點v；
⑵ 從v的未被訪問的鄰接點中選取一個頂點w，從w出發進行深度優先遍歷；
⑶ 重複上述兩步，直至圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。
2、廣度優先遍歷
基本思想：
⑴ 訪問頂點v；
⑵ 依次訪問v的各個未被訪問的鄰接點v1, v2, …, vk；
⑶ 分別從v1，v2，…，vk出發依次訪問它們未被訪問的鄰接點，並使“先被訪問頂點的鄰接點”先於“後被訪問頂點的鄰接點”被訪問。直至圖中所有與頂點v有路徑相通的頂點都被訪問到。
四、圖的儲存結構
是否可以採用順序儲存結構儲存圖?
圖的特點：頂點之間的關係是m:n，即任何兩個頂點之間都可能存在關係（邊），無法通過儲存位置表示這種任意的邏輯關係，所以，圖無法採用順序儲存結構。
如何儲存圖?
考慮圖的定義，圖是由頂點和邊組成的，分別考慮如何儲存頂點、如何儲存邊。
①鄰接矩陣（陣列表示法）
基本思想：用一個一維陣列儲存圖中頂點的資訊，用一個二維陣列（稱為鄰接矩陣）儲存圖中各頂點之間的鄰接關係。
假設圖G＝(V，E)有n個頂點，則鄰接矩陣是一個n×n的方陣，定義為：
②鄰接表
鄰接表儲存的基本思想：對於圖的每個頂點vi，將所有鄰接於vi的頂點鏈成一個單鏈表，稱為頂點vi的邊表（對於有向圖則稱為出邊表），所有邊表的頭指標和儲存頂點資訊的一維陣列構成了頂點表。
鄰接表有兩種結點結構：頂點表結點和邊表結點.。
頂點表 邊表
其中：vertex：資料域，存放頂點資訊。 firstedge：指標域，指向邊表中第一個結點。 adjvex：鄰接點域，邊的終點在頂點表中的下標。 next：指標域，指向邊表中的下一個結點。
定義鄰接表的結點：
// 邊表頂點
struct ArcNode
{ int adjvex;
ArcNode *next;
};
// 頂點表
template <class T>
struct VertexNode
{
T vertex;
ArcNode *firstedge;
};
五、C++程式碼實現
Ⅰ、鄰接矩陣
// queue.h
#pragma once
#include <iostream>
const int queueSize = 100;
template<class T>
class queue
{
public:
T data[queueSize];
int front, rear;
};
// graph.h
#pragma once
#include<iostream>
#include"queue.h"
// 基於鄰接矩陣儲存結構的圖的類實現
const int MaxSize = 10;
int visited[MaxSize] = { 0 };// 頂點是否被訪問的標記
template<class T>
class MGraph
{
public:
MGraph(T a[], int n, int e);// 建構函式建立具有N個定點e條邊的圖
~MGraph(){}// 解構函式
void DFSTraaverse(int v);// 深度優先遍歷圖
void BFSTraverse(int v);// 廣度優先遍歷圖
private:
T vertex[MaxSize];// 存放圖中頂點的陣列
int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放圖中邊的陣列
int vertexNum, arcNum;// 圖中頂點數和邊數
};
template<class T>
inline MGraph<T>::MGraph(T a[], int n, int e)
{
vertexNum = n;
arcNum = e;
for (int i = 0; i < vertexNum; i++) // 頂點初始化
vertex[i] = a[i];
for (int i = 0; i < vertexNum; i++) // 鄰接矩陣初始化
for (int j = 0; j < vertexNum; j++)
arc[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < arcNum; k++)
{
int i, j;
std::cin >> i >> j; // 輸入邊依附的頂點的編號
arc[i][j] = 1; // 置有邊標記
arc[j][i] = 1;
}
}
template<class T>
inline void MGraph<T>::DFSTraaverse(int v)
{
cout << vertex[v]<<" ";
visited[v] = 1;
for (int j = 0; j < vertexNum; j++)
{
if (arc[v][j] == 1 && visited[j] == 0)
DFSTraaverse(j);
}
}
template<class T>
inline void MGraph<T>::BFSTraverse(int v)
{
int visited[MaxSize] = { 0 };// 頂點是否被訪問的標記
queue<T> Q;
Q.front = Q.rear = -1; // 初始化佇列
cout << vertex[v]<<" ";
visited[v] = 1;
Q.data[++Q.rear] = v; // 被訪問頂點入隊
while (Q.front != Q.rear)
{
v = Q.data[++Q.front]; // 對頭元素出隊
for (int j = 0; j < vertexNum; j++)
{
if (arc[v][j] == 1 && visited[j] == 0)
{
std::cout << vertex[j]<<" ";
visited[j] = 1;
Q.data[++Q.rear] = j; // 鄰接點入隊
}
}
}
}
// main.cpp
#include"graph.h"
using namespace std;
int main()
{
int arry[] = { 1,2,3,4,5,6 };
MGraph<int> graph(arry, 6, 9);
graph.BFSTraverse(1);
cout << endl;
graph.DFSTraaverse(1);
system("pause");
return 0;
}
Ⅱ、鄰接表
// queue.h
#pragma once
#include <iostream>
const int queueSize = 100;
template<class T>
class queue
{
public:
T data[queueSize];
int front, rear;
};
// graph.h
#pragma once
#include<iostream>
#include"queue.h"
// 定義邊表結點
struct ArcNode
{
int adjvex;// 鄰接點域
ArcNode* next;
};
// 定義頂點表結點
struct VertexNode
{
int vertex;
ArcNode* firstedge;
};
// 基於鄰接表儲存結構的圖的類實現
const int MaxSize = 10;
int visited[MaxSize] = { 0 };// 頂點是否被訪問的標記
//typedef VertexNode AdjList[MaxSize]; //鄰接表
template<class T>
class ALGraph
{
public:
ALGraph(T a[], int n, int e);// 建構函式建立具有N個定點e條邊的圖
~ALGraph() {}// 解構函式
void DFSTraaverse(int v);// 深度優先遍歷圖
void BFSTraverse(int v);// 廣度優先遍歷圖
private:
VertexNode adjlist[MaxSize];// 存放頂點的陣列
int vertexNum, arcNum;// 圖中頂點數和邊數
};
template<class T>
ALGraph<T>::ALGraph(T a[], int n, int e)
{
vertexNum = n;
arcNum = e;
for (int i = 0; i <vertexNum; i++)
{
adjlist[i].vertex = a[i];
adjlist[i].firstedge = NULL;
}
for (int k = 0; k < arcNum; k++)
{
int i, j;
std::cin >> i >> j;
ArcNode* s = new ArcNode;
s->adjvex = j;
s->next = adjlist[i].firstedge;
adjlist[i].firstedge = s;
}
}
template<class T>
inline void ALGraph<T>::DFSTraaverse(int v)
{
std::cout << adjlist[v].vertex;
visited[v] = 1;
ArcNode* p = adjlist[v].firstedge;
while (p != NULL)
{
int j = p->adjvex;
if (visited[j] == 0)
DFSTraaverse(j);
p = p->next;
}
}
template<class T>
inline void ALGraph<T>::BFSTraverse(int v)
{
int visited[MaxSize] = { 0 };// 頂點是否被訪問的標記
queue<T> Q;
Q.front = Q.rear = -1; // 初始化佇列
std::cout << adjlist[v].vertex;
visited[v] = 1;
Q.data[++Q.rear] = v;// 被訪問頂點入隊
while (Q.front != Q.rear)
{
v = Q.data[++Q.front]; // 對頭元素出隊
ArcNode* p = adjlist[v].firstedge;
while (p != NULL)
{
int j = p->adjvex;
if (visited[j] == 0)
{
std::cout << adjlist[j].vertex;
visited[j] = 1;
Q.data[++Q.rear] = j;
}
p = p->next;
}
}
}
// main.cpp
#include"graph.h"
using namespace std;
int main()
{
int arry[] = { 1,2,3,4,5 };
ALGraph<int> graph(arry, 5, 7);
graph.BFSTraverse(3);
cout << endl;
graph.DFSTraaverse(3);
system("pause");
return 0;
}