問題：插入排序和氣泡排序的時間複雜度相同，都是 O(n2),在實際的軟體開發裡，為什麼我們更傾向於使用插入排序演算法而不是氣泡排序演算法呢？

一、如何分析一個“排序演算法”？
（一）排序演算法的執行效率
1、最好情況、最壞情況、平均情況時間複雜度
還要說出最好、最壞時間複雜度對應的要排序的原始資料是什麼樣的。
為什麼要區分這三種時間複雜度？1 為了好對比；2 對於要排序的資料，有的接近有序，有的完全無需。有序度不用的資料，對於排序的執行時間有影響，我們要知道排序演算法在不同資料下的效能表現。

2、時間複雜度的係數、常數、低階
時間複雜度反應的是資料規模n很大的時候的一個增長趨勢，所以它表示的時候會忽略係數、常數、低階。但在實際軟體開發中，排序的可能是10、100、1000個這樣規模小的資料。

3、比較次數和交換（或移動）次數

（二）排序演算法的記憶體消耗
原地排序（Sorted in place）.原地排序演算法，特指空間複雜度時O(1)的排序演算法。

（三）排序演算法的穩定性
如果待排序的序列中存在值相等的元素，經過排序之後，相等元素之間原有的先後順序不變。

二、氣泡排序Bubble Sort
氣泡排序只會操作相鄰的兩個資料。每次冒泡操作都會對相鄰的兩個元素進行比較，看是否滿足大小關係要求。如果不滿足就讓他們互換。一次冒泡會讓至少一個元素移動到它應該的位置，重複n次，就完成了n個數據的排序工作。

// 氣泡排序，a 表示陣列，n 表示陣列大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;
 
 for (int i = 0; i < n; ++i) {
    // 提前退出冒泡迴圈的標誌位
    boolean flag = false;
    for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
      if (a[j] > a[j+1]) { // 交換
        int tmp = a[j];
        a[j] = a[j+1];
        a[j+1] = tmp;
        flag = true;  // 表示有資料交換      
      }
    }
    if (!flag) break;  // 沒有資料交換，提前退出
  }
}
 

1、氣泡排序是原地排序演算法麼？
冒泡的過程只涉及相鄰資料的交換操作，只需要常量級的臨時空間，所以它的空間複雜度為O(1),是一個原地排序演算法。
2、氣泡排序是穩定的排序演算法麼？
在氣泡排序中，只有交換才可以改變兩個元素的前後順序。為了保證氣泡排序演算法的穩定性，當有相鄰的兩個元素大小相等的時候，我們不做交換，相同大小的資料在排序前後不會改變順序，所以氣泡排序是穩定的排序演算法。
3、氣泡排序的時間複雜度是多少？
最好情況 1,2,3,4,5,6  1次冒泡 時間複雜度 O(n)
最壞情況 6,5,4,3,2,1  6次冒泡 時間複雜度 O(n2)

平均時間複雜度就是加權平均期望時間複雜度，分析的時候要結合概率論的知識。
對於包含n個數據的陣列，這n個數據就有n!中排列方式。不同的排列方式，氣泡排序執行的時間肯定是不同的。如果用概率論方法定量分析平均時間複雜度，涉及的數學推理和極端就會很複雜。還有一種思路，通過“有序度”和“逆序度”這兩個概念來進行分析。

“有序度”是陣列中具有有序關係的元素對的個數。有序元素用數學表示式表示是這樣：
有序元素對：a[i] <= a[j], 如果 i < j。

逆序元素對：a[i] > a[j], 如果 i < j。

逆序度 = 滿有序度 - 有序度
排序的過程就是增加有序度，減少逆序度的過程，最後達到滿有序度

氣泡排序包含兩個操作原子，比較和交換。每交換一次，有序度就加1。不管演算法
怎麼改進，交換次數總是確定的，即為逆序度，也就是n*(n-1)/2-初始有序度。

對於包含n個數據的陣列進行氣泡排序，平均交換次數是多少呢？最壞情況下，初始狀態的有序度是0，所以要進行n*(n-1)/2次交換。最好情況，初始狀態的有序度是n*(n-1)/2，不需要進行交換。我們可以取中間值n*(n-1)/4，來表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情況。

換句話說，平均情況下，需要n*(n-1)/4次交換操作，比較操作肯定要比交換操作多，而複雜度的上限是O(n2),所以平均情況下的時間複雜度就是O(n2).

這個平均時間複雜度推導過程其實並不嚴格，但是很多時候很實用，畢竟概率論的定量分析太複雜，不太好用。快排時，還會用到。

三、插入排序 Insertion Sort
首先，我們將陣列中的資料分為兩個區間，已排序區間和未排序區間。初始已排序區間只有一個元素，就是陣列的第一個元素。插入演算法的核心思想是取未排序區間中的元素，在已排序區間中的元素，在已排序區間中找到合適的插入位置將其插入，並保證已排序區間資料一致有序。重複這個過程，直到未排序區間中元素為空，演算法結束。
插入排序也包好兩種操作，一是元素的比較，一是元素的移動。當我們需要將一個數據a插入到已排序區間時，需要拿a與已排序區間的元素依次比較大小，找到合適的插入位置。找到插入點之後，還需要將插入點之後的元素順序往後移動一位，這樣才能騰出位置給元素a插入。

對於不同的查詢插入點方法（從頭到尾、從尾到頭），元素的比較次數是有區別的。但對於一個給定的初始序列，移動操作的次數總是固定的，就等於逆序度。

為什麼說移動次數就等等於逆序度呢？滿有序度是n*(n-1)/2=15，初始序列的有序度是5，所以逆序度是10。插入排序中，資料移動的個數總和也等於10 = 3+3+4.
 

// 插入排序，a 表示陣列，n 表示陣列大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
  if (n <= 1) return;

  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    int value = a[i];
    int j = i - 1;
    // 查詢插入的位置
    for (; j >= 0; --j) {
      if (a[j] > value) {
        a[j+1] = a[j];  // 資料移動
      } else {
        break;
      }
    }
    a[j+1] = value; // 插入資料
  }
}

1、插入排序是原地排序演算法麼？
不需要額外的儲存空間，所以空間複雜度是O(1),是一個原地排序演算法。
2、插入排序是穩定的排序演算法麼？ 是
3、插入排序的時間複雜度是多少？
最好 O(n)
最壞 O(n2)
在陣列中插入一個數據的平均時間複雜度是 O(n).所以對於插入排序來說，每次插入操作都相當於在陣列中插入一個數據，迴圈執行n次插入操作，所以平均時間複雜度為O(n2).

四、選擇排序 Selection Sort
選擇排序演算法的實現思路類似插入排序，也分已排序區間和未排序區間。但是選擇排序每次會從未排序區間中找到最小的元素，將其放到已排序區間的末尾。
1、選擇排序是原地排序演算法麼？是一個原地排序演算法。
2、選擇排序是穩定的排序演算法麼？不是,選擇排序每次都要找剩餘未排序元素中的最小值，並和前面的元素交換位置，這樣破壞了穩定性。正是因此，相對於氣泡排序和插入排序，選擇排序稍微遜色。
3、選擇排序的時間複雜度是多少？ 最好、最壞和平均情況時間複雜度都是O（n2）.

五、問題：插入排序和氣泡排序的時間複雜度相同，都是 O(n2),在實際的軟體開發裡，為什麼我們更傾向於使用插入排序演算法而不是氣泡排序演算法呢？

氣泡排序和插入排序不管怎麼優化，元素移動的次數是固定值，是原始陣列的逆序度。
但是從程式碼實現上，氣泡排序的資料交換要比插入排序的資料移動要複雜，氣泡排序需要3個賦值操作，而插入排序只需要1個
氣泡排序中資料的交換操作：

氣泡排序中資料的交換操作：
if (a[j] > a[j+1]) { // 交換
   int tmp = a[j];
   a[j] = a[j+1];
   a[j+1] = tmp;
   flag = true;
}

插入排序中資料的移動操作：
if (a[j] > value) {
  a[j+1] = a[j];  // 資料移動
} else {
  break;
}

我們把執行一個賦值語句的時間粗略記為單位時間 unit_time，然後分別用氣泡排序和插入排序對同一個逆序度是K的陣列進行排序。用氣泡排序，需要K次交換操作，每次需要3個賦值語句，所以交換操作總耗時是3*K單位時間。而插入排序中資料移動操作只需要K個單位時間。