三維幾何-平面
平面的表示。
通常用點法式(p0,n)來描述一個平面。其中點p0是平面的一個點,向量n是平面的法向量。每個平面把空間分成了兩個部分,我們可以用點法式表示其中一個半空間。具體是哪一個呢?是這個法向量所背離的那一個(即法向量指向遠離半空間的方向)。
既然是法向量,n就垂直於平面上的所有直線。換句話說,平面上的任意點p滿足Dot(n,p-p0)=0.
設點p的座標為(x,y,z),p0的座標為(x0,y0,z0),向量n的座標表示為(A,B,C),上述等式等價於
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
整理得 Ax+By+Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0.如果令D=-(Ax0 + B0 + Cz0),我們就得到了平面的一般式:
Ax+By+Cz+D=0.
注意,當Ax+By+Cz+D>0時,上述點積大於0,即點(x,y,z)在半空間(p0,n)外。換句話說,Ax+By+Cz+D>0 表示的是一個半空間(half space)
過定點垂直於定直線的平面。平面的法向量就是這條直線,所以可以直接寫出所求平面的點法式。
直線與平面的夾角、兩平面的夾角、兩直線的夾角。注意到與平面的夾角可以轉化為與法向量的夾角。兩平面的夾角等於這兩個平面的法線的夾角。
點到平面的距離。把向量p-p0投影到向量n上可得:p到平面的有向距離為Dot(p-p0,n)/Length(n)。這是一個相當簡潔的結論。如果n是單位向量,甚至會更簡單。
點p到平面p0-n的距離。n必須為單位向量。
double DistancetoPlane(const Point3 &p, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
return fabs(Dot(p-p0, n)); //如果不取絕對值,得到的是有向距離
}
-點到平面的投影。
有了距離,投影點本身就不難求了。設點p在平面(p0,n)上的投影為p',則p'-p=dn,其中d就是p到平面的有向距離。
點p到平面p0-n的距離。n必須為單位向量。
注意此處的小技巧,求d的時候沒有取絕對值。因為不確定p的位置。
Point3 getPlaneProjection(const Point3 &p, const Point3 &p0, const Vector3 &n) { return p - n*Dot(p-p0, n); }
直線與平面的交點。可以簡單的通過解方程得到。設平面方程為Dot(n,p-p0)=0,過點p1和p2的直線的引數方程為p=p1+t(p2-p1)
則與平面方程聯立解得:
t=Dot(n,p0-p1) / Dot(n,p2-p1)
其中分母為0的情況對應於直線與平面平行,或者直線在平面上,如何區分?只要判斷p1或者p2是否在平面上即可。
直線p1-p2到平面p0-n的交點。假定交點唯一存在。
Point3 LinePlaneIntersection(const Point3 &p1,const Point3 &p2, const Point3 &p0, const Vector3 &n)
{
double t;
Vector3 v;
v = p2-p1;
t = Dot(n, p0-p1) / Dot(n, v); //判斷分母是否為0
return p1 + v*t; //如果是線段,判斷t是不是在0和1之間
}
順便提一下:如果平面用一般式Ax+By+Cz+D = 0,則聯立解出的表示式為:
t= (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (A(x1-x2) + B(y1-y2) +C(z1-z2))
過不共線三點的平面。法向量為Cross(p2-p0,p1-p0),任取一個點即可得到平面的點法式。