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有標號的DAG計數（FFT）

阿新 • • 發佈：2018-12-17

有標號的DAG計數系列

有標號的DAG計數I

題意

給定一正整數\(n\)，對\(n\)個點有標號的有向無環圖(可以不連通)進行計數，輸出答案\(mod \ 10007\)的結果。\(n\le 5000\)

題解

顯然是\(O(n^2)\)來做。
設\(f(i)\)表示\(i\)個點有標號的有向無環圖的個數。而\(DAG\)中的特殊點顯然只有兩種，要麼是出度為\(0\)，要麼入度為\(0\)。隨便列舉哪一種都行，這裡列舉入度為\(0\)的點。
那麼得到式子：
\[f(n)=\sum_{i=1}^nC_n^if(n-i)2^{i(n-i)}\]
顯然這樣子枚舉出來的並不是入度個數恰好為列舉個數的答案，所以需要容斥，也就是：
\[f(i)=\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}C_i^jf(i-j)2^{j(i-j)}\]

\(O(n^2)\)暴力\(dp\)即可。

有標號的DAG計數II

題意

給定一正整數\(n\)，對\(n\)個點有標號的有向無環圖(可以不連通)進行計數，輸出答案\(mod \ 998244353\)的結果。\(n\le 10^5\)

題解

推導同上題式子。考慮接著拆。
首先把\(2^{j(i-j)}\)給拆了，\(j(i-j)=i^2/2-j^2/2-(i-j)^2/2\)
這樣子令\(t=\sqrt 2\)，也就是\(2\)在模意義下的二次剩餘。
接著拆式子：
\[ \begin{aligned} f(i)&=\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}C_i^jf(i-j)2^{j(i-j)}\\ &=\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}\frac{i!}{j!(i-j)!}f(i-j)t^{i^2-j^2-(i-j)^2}\\ &=\sum_{j=1}^n \frac{(-1)^{j-1}}{j!t^{j^2}}*\frac{f(i-j)}{(i-j)!t^{(i-j)^2}}*i!*t^{i^2}\\ \frac{f(i)}{i!t^{i^2}}&=\sum_{j=1}^n \frac{(-1)^{j-1}}{j!t^{j^2}}*\frac{f(i-j)}{(i-j)!t^{(i-j)^2}} \end{aligned} \]


令\(F(x)\)為\(\frac{f(i)}{i!t^{i^2}}\)的生成函式，\(G(x)\)為\(\frac{(-1)^{i-1}}{i!t^{i^2}}\)的生成函式，那麼上面的等式寫成：\(F(x)=G(x)F(x)+1\)，因為卷積之後漏掉了\(F(0)\)。
那麼解出\(F(x)=\frac{1}{1-G(x)}\)，多項式求逆即可。

有標號的DAG計數III

題意

給定一正整數\(n\)，對\(n\)個點有標號的有向無環圖進行計數，這裡加一個限制：此圖必須是弱連通圖。輸出答案\(mod\ 10007\)的結果。\(n\le 5000\)

題解

又回到了一個\(O(n^2)\)的做法。設答案為\(g(i)\)

。那麼考慮這裡和前面的區別在哪兒？這裡要求弱連通。那麼連通和不連通的考慮方法一般就是總數減去不合法，那麼考慮什麼東西是不合法的。
\[g(i)=f(i)-\sum_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}g(j)f(i-j)\]
為啥呢？因為一旦不是弱連通了，那麼必定有兩個以上的聯通塊。我們列舉其中的一個包含\(1\)號點的聯通塊大小，那麼這個方案數是\(g(j)\)，而其他點隨意構成\(DAG\)，這樣就是上述的式子了。
所以把\(I\)的程式碼蒯過來再加一個\(dp\)算\(g\)就好了。

有標號的DAG計數IV

題意

給定一正整數\(n\)，對\(n\)個點有標號的有向無環圖進行計數，這裡加一個限制：此圖必須是弱連通圖。輸出答案\(mod\ 998244353\)的結果。

題解

拆式子啊QwQ。
\[ \begin{aligned} g(i)&=f(i)-\sum_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}g(j)f(i-j)\\ &=f(i)-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}g(j)f(i-j)\\ \frac{g(i)}{(i-1)!}&=\frac{f(i)}{(i-1)!}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g(j)}{(j-1)!}\frac{f(i-j)}{(i-j)!} \end{aligned} \]
這樣子可以構建三個生成函式
\(G(x)=\sum \frac{g(i)}{(i-1)!}x^i\)，\(F(x)=\sum \frac{f(i)}{(i-1)!}x^i\)，\(H(x)=\sum \frac{f(i)}{i!}x^i\)。其中\(\sum\)都表示\(\sum_{i=1}^{\infty}\)。
卷積一下就是\(G(x)=F(x)-G(x)*H(x)\)。
化簡一下就是\(G(x)=\frac{F(x)}{1+H(x)}\)。
多項式求逆即可。

I

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 10007
#define MAX 5050
int n,f[MAX],bin[MAX*MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);f[0]=jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=bin[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=jv[i-1]*inv[i]%MOD;
    for(int i=1;i<=n*n;++i)bin[i]=2*bin[i-1]%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            int tmp=C(i,j)*f[i-j]%MOD*bin[j*(i-j)]%MOD;
            if(j&1)add(f[i],tmp);else add(f[i],MOD-tmp);
        }
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}

II

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define REM 882049182
#define MAX 300000
int fpow(int a,int b)
{
    int s=1;
    while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
    return s;
}
int r[MAX],W[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int N)
{
    int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;
    for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
    {
        int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
        for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
                P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
            }
    }
    if(opt==-1)
    {
        reverse(&P[1],&P[N]);
        for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
    }
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
    if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
    Inv(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
    NTT(A,-1,len<<1);
    for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
    for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
    for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=B[i]=0;
}
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int N,n,F[MAX],G[MAX];
int main()
{   
    scanf("%d",&n);jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
    for(N=1;N<=n;N<<=1);G[0]=1;int t=fpow(REM,MOD-2);
    for(int i=1;i<N;++i)G[i]=1ll*jv[i]*fpow(t,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
    for(int i=1;i<N;++i)if(i&1)G[i]=MOD-G[i];
    Inv(G,F,N);
    printf("%lld\n",1ll*F[n]*jc[n]%MOD*fpow(REM,1ll*n*n%(MOD-1))%MOD);
    return 0;
}

III

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 10007
#define MAX 5050
int n,f[MAX],g[MAX],bin[MAX*MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);f[0]=jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=bin[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=jv[i-1]*inv[i]%MOD;
    for(int i=1;i<=n*n;++i)bin[i]=2*bin[i-1]%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            int tmp=C(i,j)*f[i-j]%MOD*bin[j*(i-j)]%MOD;
            if(j&1)add(f[i],tmp);else add(f[i],MOD-tmp);
        }
    for(int i=0;i<=n;++i)g[i]=f[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<i;++j)
            add(g[i],MOD-C(i-1,j-1)*g[j]%MOD*f[i-j]%MOD);
    printf("%d\n",g[n]);
    return 0;
}

IV

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define REM 882049182
#define MAX 300000
int fpow(int a,int b)
{
    int s=1;
    while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
    return s;
}
int r[MAX],W[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int N)
{
    int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;
    for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
    {
        int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
        for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
                P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
            }
    }
    if(opt==-1)
    {
        reverse(&P[1],&P[N]);
        for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
    }
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
    if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
    Inv(a,b,len>>1);
    for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
    for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
    NTT(A,-1,len<<1);
    for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
    for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
    for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=B[i]=0;
}
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int N,n,F[MAX],G[MAX],H[MAX],P[MAX];
int main()
{   
    scanf("%d",&n);jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
    for(N=1;N<=n;N<<=1);G[0]=1;int t=fpow(REM,MOD-2);
    for(int i=1;i<N;++i)G[i]=1ll*jv[i]*fpow(t,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
    for(int i=1;i<N;++i)if(i&1)G[i]=MOD-G[i];
    Inv(G,F,N);
    for(int i=1;i<N;++i)F[i]=1ll*F[i]*jc[i]%MOD*fpow(REM,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
    for(int i=1;i<N;++i)H[i]=1ll*F[i]*jv[i]%MOD;H[0]=1;
    for(int i=1;i<N;++i)F[i]=1ll*F[i]*jv[i-1]%MOD;F[0]=0;
    Inv(H,P,N);
    NTT(F,1,N<<1);NTT(P,1,N<<1);
    for(int i=0;i<N<<1;++i)G[i]=1ll*F[i]*P[i]%MOD;
    NTT(G,-1,N<<1);
    printf("%lld\n",1ll*G[n]*jc[n-1]%MOD);
    return 0;
}

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