【題目描述】

【思路】
做這道題首先要知道一種全排列的生成方式：如果要生成 $[1,n]$ 的全排列，考慮遞推關係，如果現在所有 $[$

首先根據輸入資料處理出一個數組 $p$ ，表示相鄰兩項的關係， $p[i]==1$ 表示 $a[i]>a[i+1]$ ， $p[i]==-1$ 表示 $a[i]<a[i+1]$， $p[i]==0$ 表示無限制，然後

設 $dp[i][j]$ 表示 數字 $[1,i]$ 在前 $i$ 個位置，以 $j$ 為結尾生成的合法排列數目，有如下狀態轉移方程

$dp[i+1][j]=\begin{cases} \sum_{k=1}^{j-1}dp[i][k] \ \ \ (p[i]==-1) \\ \sum_{k=j}^{i}dp[i][k] \ \ \ (p[i]==1) \\ \sum_{k=1}^{i}dp[i][k] \ \ \ (p[i]==0)\end{cases}$ 遞推邊界從 $dp[1][1]=1$ 開始，很明顯可以通過字首和來優化這個遞推方程，在遞推過程中用一個 $sum$ 陣列記錄字首和 $sum[j]=\sum_{k=1}^{j}dp[i][j]$，每次用 $sum$ 遞推，然後不斷更新 $sum$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
const int maxn=5005; 

int n,k1,k2;
int p[maxn];//p[x]=-1表示a[x]<a[x+1],p[x]=1表示a[x]>a[x+1],p[x]=0表示都行 
int dp[maxn][maxn];
int sum[maxn];

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&k1,&k2);
	for(int i=1;i<=k1;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=1;
		p[x]=-1;
	}
	for(int i=1;i<=k2;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=-1;
		p[x]=1;
	}
	
	sum[1]=dp[1][1]=1;
	for(int i=1;i<n;++i){
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			if(p[i]==-1){
				dp[i+1][j]=sum[j-1];
			}
			else if(p[i]==1){
				dp[i+1][j]=((sum[i]-sum[j-1])%mod+mod)%mod;
			}
			else{
				dp[i+1][j]=sum[i];
			}
		}
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			sum[j]=(sum[j-1]+dp[i+1][j])%mod;
		}
	}
	
	printf("%d\n",sum[n]);
	return 0;
}

可以看到上面的程式碼中 $dp[i][j]$ 的第一維完全可以省去，進一步優化記憶體

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
const int maxn=5005; 

int n,k1,k2;
int p[maxn];//p[x]=-1表示a[x]<a[x+1],p[x]=1表示a[x]>a[x+1],p[x]=0表示都行 
int dp[maxn];
int sum[maxn];

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&k1,&k2);
	for(int i=1;i<=k1;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=1;
		p[x]=-1;
	}
	for(int i=1;i<=k2;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=-1;
		p[x]=1;
	}
	
	sum[1]=dp[1]=1;
	for(int i=1;i<n;++i){
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			if(p[i]==-1){
				dp[j]=sum[j-1];
			}
			else if(p[i]==1){
				dp[j]=((sum[i]-sum[j-1])%mod+mod)%mod;
			}
			else{
				dp[j]=sum[i];
			}
		}
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			sum[j]=(sum[j-1]+dp[j])%mod;
		}
	}
	
	printf("%d\n",sum[n]);
	return 0;
}