題目

1、動態模型的建模分析，寫出求解過程及分析結論。

（1）求解微分方程y'-xy=3x

（2）求微分方程x2y''-2xy'+2y=3x滿足條件y(1)=0，y'(1)=1的特解。

（3）求微分方程組的通解。

（4）求函式f(x)=x3-4x+3在區間[-2，2]的極值。

（5）已知一組資料(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)，求已知資料的擬合函式。

（6）應用Mathematica求解傳染病模型，模型Ⅰ（指數模型）的通解與特解，並繪圖。

（7）應用Mathematica求解傳染病模型，模型Ⅱ（阻滯模型，SI模型），的通解與特解，並繪圖（三種形狀： S形狀，正態形狀，鐘形）。

（8）應用Mathematica求解傳染病模型，模型Ⅲ（SIS模型），的通解與特解。

（9）課程第7講中的問題。在一片沒有管理的林區，硬材樹與軟材樹競爭可用的土地和水分。越可用的硬材樹生長得越慢。軟材樹靠生長快、有效消耗水分和土壤養分與硬材樹競爭。硬材樹靠生長的高度與軟材樹競爭，它們遮擋了小樹的陽光，也更抗疾病。這兩種樹能否同時在一片林區中無限期地共存，或者一種樹是否會迫使另一種樹滅絕？應用Mathematica求解以下方程。分析問題。

 2、寫出簡短程式，繪製特殊圖形

（1）在Mathematica中繪製如下的星空圖。

（2）在Mathematica中繪製心形圖。提示：心形曲線的方程為，r=a(1－sinθ)

（3）在Mathematica中繪製三葉草或四葉草的圖形。

（4）在Mathematica中繪製瓶子或罐子。

（5）在Mathematica中繪製海螺。

（6）在Mathematica中繪製魔方。

（7）在Mathematica中繪製漫畫人形圖。

（8）繪製其它任何，你覺得有意思的圖形，現實存在的，或幻想的，或未來的圖形。

解答過程

1、動態模型的建模分析

（1）根據題目一要求，輸入微分方程，通過DSolve命令得到微分方程求解結果如下圖所示：

圖 1 - 微分方程求解

（2）根據題目二要求，輸入微分方程，通過DSolve命令得到微分方程特解結果如下圖所示：

圖 2 - 微分方程特解

（3）根據題目三的要求，輸入微分方程組，通過DSolve命令求得微分方程組的特解如下圖所示：

圖 3 - 微分方程組求特解

（4）根據題目四的要求，通過Plot和求極值命令得到函式在[-2,2]上的極值如下圖所示：

圖 4 - 求函式極值

（5）根據題目五的要求，通過Fit和Plot等函式命令得到改組資料的擬合數據，計算過程如下圖所示：

首先求資料擬合

圖 5 - 求資料擬合

Plot和Show等命令畫出資料的散點圖以及相關擬合的函式影象進行比較，比較結果如下圖所示

圖 6 - Plot作圖

同時可以通過Show[圖形變數組,可選項]的形式，將多個函式的影象畫在同 一座標系中，繪製結果如下圖所示：

圖 7 - Show作圖

根據繪製結果分析，可以發現第二次比第一次的擬合程度高，但從簡單實用的角度，可以選擇第一個擬合函式

（6）根據題目六的要求，利用mathematica求解傳染病模型，求解器通解和特解，並繪製圖案。

通過計算可以的到通解和特解分別如下圖所示：

圖 8 - 通解和特解

繪製圖案，將a=1，k=1如下圖所示：

圖 9 - 繪製圖案

（7）根據題目七的要求，利用mathematica求解傳染病模型2，求得其通解和特解，並繪製三種圖案。

通過計算可以的到通解和特解分別如下圖所示：

圖 10 - 通解和特解

繪製圖案，將a=1，k=1如下圖所示：

S型曲線：

圖 11 - S型曲線

正態形狀：

圖 12 - 正態形狀

鍾型曲線：

圖 13 - 鍾型曲線

（8）根據題目八的要求，利用mathematica求解傳染病模型Ⅲ，求得其通解和特解，得到結果如下圖所示：

圖 14 - 通解求解

（9）根據題目九的要求，利用mathematica求解下列方程：

通過求解得到結果如下圖所示：

圖 15 - 求解方程

2、寫出簡短程式，繪製特殊圖形

（1）通過查閱相關資料，根據題目要求畫氫原子電子雲（(n,m,l)=(4,0,3)）示意圖，利用Mathematica繪製可得到近似於星空圖如下：

圖 16 - 星空圖繪製

（2）在Mathematica中繪製心形圖。根據心形曲線的方程為，r=a(1－sinθ)繪製得到心形圖如下：

圖 17 - 心形圖繪製

（3）三葉草曲線

首先確定極座標方程為r(x)=1+cos(3x)+1.5×[sin(3x)]^2，範圍為[0,2π]，使用PolarPlot命令在Mathematica即可繪製一個相比官方例項較為複雜的三葉草曲線，繪製圖案如下圖所示：

圖 18 - 三葉草曲線

（4）在Mathematica中繪製瓶子或罐子。

通過查閱資料，通過Manipulate使用RevolutionPlot3D三維旋轉圖命令得到一個花瓶，生成花瓶如下：

圖 19 - 花瓶繪製

（5）在Mathematica中繪製海螺。

通過查閱資料，通過Manipulate使用互動操作得到一個可以變形得到海螺的命令，並生成海螺如下：

圖 20 - 繪製海螺圖

（6）在Mathematica中繪製魔方。

通過查閱資料，通過Manipulate利用三維影象，陣列等知識，繪製魔方如下圖所示：

圖 21 - 魔方繪製

（7）在Mathematica中繪製漫畫人形圖。

圖 22 - 繪製人形圖

（8）繪製其它任何，你覺得有意思的圖形，現實存在的，或幻想的，或未來的圖形。

圖 23 - 繪製隨意圖案