USACO乳酪塔

對於這道題呢，是DP，確切地說是揹包，還是完全揹包，今天早上也就只打了這題，因為有位童鞋一直在“不恥下問”，讓我對這題逐步有了深刻的理解 {(￢_￢)智商三歲}，於是認為一定要來水一下部落格。

這個乳酪塔在我們的 “偶劇誒”（OJ）成功地發酵變成了“蛋糕塔”，老劉想掩人耳目是不可能的，因為這道題兩位大佬都給我們講過，而且檔案輸入輸出還是“cheese”，更坑的是還多帶一個點！！這是坑了多少人 經過我的瘋狂吐槽後，我們就不在追究這波操作了。進入正題：

題目描述（原諒我的複製貼上） Hl高中要舉行一場蛋糕塔比賽。（有的吃嗎？ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ）

學校會提供N種不同型別的蛋糕，第i種蛋糕的高度為Hi

蛋糕塔比賽的規則就是要求按照提供的蛋糕，壘成一個高度不超過T(1 <= T <= 1,000)的蛋糕塔，並且要求這個蛋糕塔所有蛋糕的營養價值累加和最高。

因為蛋糕不是很結實（學校的應該很結實才對），參加比賽的小x發現一個現象，如果某塊蛋糕的高度超過K，那麼這塊蛋糕下面的所有蛋糕的高度都將被壓縮為自己高度的4/5，但是營養價值不會丟失。發現這個情況後的小x很興奮，現在他想知道，如何安排自己的蛋糕塔，能讓營養價值最高。

輸入格式 第一行三個整數：N，T和K；

接下來N行，每行兩個整數：Vi 和 Hi。

輸出格式 一行，一個整數，表示答案。

樣例資料 input

3 53 25 100 25 20 5 40 10 output 240 有3種蛋糕，蛋糕塔的高度限制為53，高度必須超過25的蛋糕才能將其下面的蛋糕高度壓縮。我們按照下面的方法來壘蛋糕：

           個數 高度    價值
         高->[1]   25    100
             [2]   4     20  
             [3]   8     40  
             [3]   8     40  
         底->[3]   8     40
 

最上的蛋糕將下方的蛋糕都壓縮為4/5.最大價值為240

解： 非常幸運的，我們第一眼就發現這是一個完全揹包再進行一小點操作，而且一系列的一系列都和蛋糕的高度扯上了關係，因此我們設f[i]表示蛋糕塔高度為i時的最優值，但是由於塔的高度會被大蛋糕所壓縮，因此改進表示為未被壓縮的高度（即實際高度）為i的蛋糕塔的最高營養價值。正因為是未被壓縮過的，又因為壓縮時會變成實際的4/5，所以塔的實際最高 高度為t/(4/5)即t*5/4

接下來，我們看一看完全揹包的模板：

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = w[i]; j <= v; ++j) {
        f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + v[i]);
    }
}

一系列過程參考：https://www.cnblogs.com/Kalix/p/7622102.html 為了好理解我們將遺忘 既然f[i]記錄的是當蛋糕塔實際高度為i時的最優營養值，對於當下的小蛋糕(i 這個i不同於f[i]的i)來說，可以放一個或放n個知道放滿，即高度為t（這是對於壓縮後來說的）那麼實際上是可以放 這個小蛋糕的高度~t/(4/5) 因此完全揹包的內迴圈確定為：for(int j=h[i];j<=t*5/4;j++) 依次更新蛋糕塔高度為j時的最優值。 溫故而知新：f[j]=max(f[j],f[j-h[i]]+v[i]);max中f[j] 表示不叫當前的蛋糕，f[j-h[i]] 表示在到達指定高度的前提下，放當下這塊蛋糕的最優值，整個f[j-h[i]]+v[i] 表示放下這塊蛋糕的最優值 ans用來記錄答案即最後最優值f[t] 但是問題來了f[]不是用來表示實際高度的嗎？最大值不應該是f[t5/4]嗎？為什麼會是f[t]呢？ 在這裡需要說明一下：f[]在此時表示的是一堆小蛋糕疊在一起的實際高度的最優值，但是也不能排除小蛋糕剛好搭到t，大蛋糕就不能進行壓縮，因此實際高度=名義上的壓縮高度。 最後就是傳說中的一點點小操作了，用大蛋糕進行壓縮，更新ans。因為要求最優值，所以我們不能讓蛋糕塔空出位置不利用，因此確定壓縮後的高度 一定為t，那麼除去大蛋糕的高度，被壓縮的小蛋糕的高度就為t-h[i]，又因為f[]記錄的是實際高度而不是壓縮高度，壓縮高度又可以以5/4轉換為實際高度，所以ans=max(ans,f[(t-h[i])*5/4]+v[i]);

那麼接下來，上程式碼：

//要麼最優都是小cake，要麼就是有一個大cake是在頂上的
//對於只有小cake直接用完全揹包來做
//最後在頂端放大cake對ans進行更新 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[5050],h[5050];
int f[5050];
int main()
{
	freopen("cheese..in","r",stdin);
	freopen("cheese..out","w",stdout); 
	int n,t,k;
	cin>>n>>t>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 cin>>v[i]>>h[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=h[i];j<=t*5/4;j++)
//對於高度來說，因為當下只考慮了小cake，
//所以這個高度是實際，即目的高度的4/5
//因此/(4/5)即*5/4 
	  f[j]=max(f[j],f[j-h[i]]+v[i]);
    int ans=f[t];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 if(h[i]>=k)
	  ans=max(ans,f[(t-h[i])*5/4]+v[i]);
	cout<<ans<<endl; 
	return 0;
}