在 聚類演算法K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut一文中我們給出了GMM演算法的基本模型與似然函式，在EM演算法原理中對EM演算法的實現與收斂性證明進行了詳細說明。本文主要針對如何用EM演算法在混合高斯模型下進行聚類進行程式碼上的分析說明。

1. GMM模型：

每個 GMM 由 K 個 Gaussian 分佈組成，每個 Gaussian 稱為一個“Component”，這些 Component 線性加成在一起就組成了 GMM 的概率密度函式：

根據上面的式子，如果我們要從 GMM 的分佈中隨機地取一個點的話，實際上可以分為兩步：首先隨機地在這 K個Gaussian Component 之中選一個，每個 Component 被選中的概率實際上就是它的係數 pi(k) ，選中了 Component 之後，再單獨地考慮從這個 Component 的分佈中選取一個點就可以了──這裡已經回到了普通的 Gaussian 分佈，轉化為了已知的問題。

那麼如何用 GMM 來做 clustering 呢？其實很簡單，現在我們有了資料，假定它們是由 GMM 生成出來的，那麼我們只要根據資料推出 GMM 的概率分佈來就可以了，然後 GMM 的 K 個 Component 實際上就對應了 K 個 cluster 了。根據資料來推算概率密度通常被稱作 density estimation ，特別地，當我們在已知（或假定）了概率密度函式的形式，而要估計其中的引數的過程被稱作“引數估計”。

2. 引數與似然函式：

現在假設我們有 N 個數據點，並假設它們服從某個分佈（記作 p(x) ），現在要確定裡面的一些引數的值，例如，在 GMM 中，我們就需要確定 影響因子pi(k)、各類均值pMiu(k) 和 各類協方差pSigma(k) 這些引數。 我們的想法是，找到這樣一組引數，它所確定的概率分佈生成這些給定的資料點的概率最大，而這個概率實際上就等於 

下面讓我們來看一看 GMM 的 log-likelihood function ：

由於在對數函式裡面又有加和，我們沒法直接用求導解方程的辦法直接求得最大值。為了解決這個問題，我們採取之前從 GMM 中隨機選點的辦法：分成兩步，實際上也就類似於

3. 演算法流程：

1.  估計資料由每個 Component 生成的概率（並不是每個 Component 被選中的概率）：對於每個資料  來說，它由第  個 Component 生成的概率為

其中N（xi | μk,Σk）就是後驗概率。

2. 通過極大似然估計可以通過求到令引數=0得到引數pMiu，pSigma的值。具體請見這篇文章第三部分。

其中  ，並且  也順理成章地可以估計為  。

3. 重複迭代前面兩步，直到似然函式的值收斂為止。

4. matlab實現GMM聚類程式碼與解釋：

說明：fea為訓練樣本資料，gnd為樣本標號。演算法中的思想和上面寫的一模一樣，在最後的判斷accuracy方面，由於聚類和分類不同，只是得到一些 cluster ，而並不知道這些 cluster 應該被打上什麼標籤，或者說。由於我們的目的是衡量聚類演算法的 performance ，因此直接假定這一步能實現最優的對應關係，將每個 cluster 對應到一類上去。一種辦法是列舉所有可能的情況並選出最優解，另外，對於這樣的問題，我們還可以用 Hungarian algorithm 來求解。具體的Hungarian程式碼我放在了資源裡，呼叫方法已經寫在下面函式中了。

注意：資源裡我放的是Kmeans的程式碼，大家下載的時候只要用bestMap.m等幾個檔案就好~

1. gmm.m，最核心的函式，進行模型與引數確定。

function varargout = gmm(X, K_or_centroids)% ============================================================% Expectation-Maximization iteration implementation of% Gaussian Mixture Model.%% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)%%  - X: N-by-D data matrix.%  - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of%       components or a K-by-D matrix indicating the%       choosing of the initial K centroids.%%  - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each%       component generating each point.%  - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:%       MODEL.Miu: a K-by-D matrix.%       MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.%       MODEL.Pi: a 1-by-K vector.% ============================================================% @SourceCode Author: Pluskid (http://blog.pluskid.org)% @Appended by : Sophia_qing (http://blog.csdn.net/abcjennifer)    %% Generate Initial Centroids    threshold = 1e-15;    [N, D] = size(X);     if isscalar(K_or_centroids) %if K_or_centroid is a 1*1 number        K = K_or_centroids;        Rn_index = randperm(N); %random index N samples        centroids = X(Rn_index(1:K), :); %generate K random centroid    else % K_or_centroid is a initial K centroid        K = size(K_or_centroids, 1);         centroids = K_or_centroids;    end     %% initial values    [pMiu pPi pSigma] = init_params();     Lprev = -inf; %上一次聚類的誤差        %% EM Algorithm    while true        %% Estimation Step        Px = calc_prob();         % new value for pGamma(N*k), pGamma(i,k) = Xi由第k個Gaussian生成的概率        % 或者說xi中有pGamma(i,k)是由第k個Gaussian生成的        pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1); %分子 = pi(k) * N(xi | pMiu(k), pSigma(k))        pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K); %分母 = pi(j) * N(xi | pMiu(j), pSigma(j))對所有j求和         %% Maximization Step - through Maximize likelihood Estimation                Nk = sum(pGamma, 1); %Nk(1*k) = 第k個高斯生成每個樣本的概率的和，所有Nk的總和為N。                % update pMiu        pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X; %update pMiu through MLE(通過令導數 = 0得到)        pPi = Nk/N;                % update k個 pSigma        for kk = 1:K             Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);            pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...                (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);        end         % check for convergence        L = sum(log(Px*pPi'));        if L-Lprev < threshold            break;        end        Lprev = L;    end     if nargout == 1        varargout = {Px};    else        model = [];        model.Miu = pMiu;        model.Sigma = pSigma;        model.Pi = pPi;        varargout = {Px, model};    end     %% Function Definition        function [pMiu pPi pSigma] = init_params()        pMiu = centroids; %k*D, 即k類的中心點        pPi = zeros(1, K); %k類GMM所佔權重（influence factor）        pSigma = zeros(D, D, K); %k類GMM的協方差矩陣，每個是D*D的         % 距離矩陣，計算N*K的矩陣（x-pMiu）^2 = x^2+pMiu^2-2*x*Miu        distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ... %x^2, N*1的矩陣replicateK列            repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...%pMiu^2，1*K的矩陣replicateN行            2*X*pMiu';        [~, labels] = min(distmat, [], 2);%Return the minimum from each row         for k=1:K            Xk = X(labels == k, :);            pPi(k) = size(Xk, 1)/N;            pSigma(:, :, k) = cov(Xk);        end    end     function Px = calc_prob()         %Gaussian posterior probability         %N(x|pMiu,pSigma) = 1/((2pi)^(D/2))*(1/(abs(sigma))^0.5)*exp(-1/2*(x-pMiu)'pSigma^(-1)*(x-pMiu))        Px = zeros(N, K);        for k = 1:K            Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1); %X-pMiu            inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));            tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);            coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));            Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);        end    endend

2. gmm_accuracy.m呼叫gmm.m，計算準確率：

function [ Accuracy ] = gmm_accuracy( Data_fea, gnd_label, K )%Calculate the accuracy Clustered by GMM modelpx = gmm(Data_fea,K);[~, cls_ind] = max(px,[],1); %cls_ind = cluster label Accuracy = cal_accuracy(cls_ind, gnd_label);    function [acc] = cal_accuracy(gnd,estimate_label)        res = bestMap(gnd,estimate_label);        acc = length(find(gnd == res))/length(gnd);    endend

3. 主函式呼叫

gmm_acc = gmm_accuracy(fea,gnd,N_classes);

寫了本文進行總結後自己很受益，也希望大家可以好好YM下上面pluskid的gmm.m，不光是演算法，其中的矩陣處理程式碼也寫的很簡潔，很值得學習。

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