本篇記錄了斐波那契數列的Python實現：遞迴與迴圈兩種解法，以及一些化用的題目。

Python實現

遞迴

按傳統的遞迴方式，簡潔、優雅。寫出來卻是$O(n^2)$的演算法

def fibo(n):
	"""肥波那契函式"""
    if n < 3:
    	return 1
    else:
        return fibo(n-1) + fibo(n-2)

$O(n)$的演算法

上面“簡潔”的演算法其實重複算了好多項。比如算fibo(6)，它就算了三個fibo(3)、五個fibo(2)。從理論上分析，只要不多算，那就是$O(n)$

思路也很簡潔：構建一個迴圈，在每次迴圈中，都有兩個變數儲存下一次迴圈的fibo(n-1)與fibo(n-2)。當然，迴圈開始和終止的邊界條件是需要注意的。（拿幾個數去試一試就行了）

def fibo(n):
	if n < 3:
		return 1
	frist = 1
	second = 1
	third = 1  # 沒有這個會怎樣？
	count = 3
	while count <= n:
	    third = second + frist
	    frist = second
	    second =
 
 third
	    count += 1
	return third

if __name__ == '__main__':
	print(fibo(2))  # 1
    print(fibo(6))  # 8

變體

跳臺階12

一個臺階總共有n級，如果一次可以跳一級或者兩級，求總共有多少種跳法？

1. 假設存在函式$f$，使得$f(n)$即為所求；
2. 當臺階數$n=0$和$n=1$時，$f(n)=1$（沒有跳法是為一種跳法）；
3. 當$n\gt 1$時，$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$
   ；

看得出來是斐波那契數列嗎？就用上面的演算法就行了嗎？檢驗一下，兩級臺階的時候，總共2種跳法，寫個測試，發現輸出是1 ！= 2。。（好吧，肉眼可見）

def fibo(n):
	"""假設輸入值為整數"""
	[...]

def test_two():
    assert fibo(2) == 2  # error，1 ！= 2

怎麼回事？分析得不對嗎？原來，函式fibo(n)裡的n=1代表第一種情況，而這裡的第一種情況是臺階數n = 0。故可把輸入改成fibo(n - 1)，或者把函式裡的引數改一改。

跳臺階123

一個臺階總共有n級，如果一次可以跳一級、兩級或者三級，求總共有多少種跳法？

改一下就好，理解不了就先用定義把寫個程式碼：

def result123(n):
	"""假設輸入值為整數"""
    if n <= 1: return 1
    elif n == 2: return 2
    elif n == 3: return 4
    frist = 1
    second = 2
    third = 4
    for i in range(4, n + 1):
        result = frist + second + third
        frist = second
        second = third        
        third = result
    return result

if __name__ == '__main__':
    print(result123(2))  # 2
    print(result123(3))  # 4
    print(result123(4))  # 7
    print(result123(5))  # 13

跳臺階23

一個臺階總共有n級，如果一次可以跳兩級或者三級，求總共有多少種跳法？

還是差不多，只是要從頭分析。可以檢驗一下：

def result23(n):
	"""假設輸入值為整數"""
    if n <= 4: return 1
    elif n <= 6: return 2
    frist = 1  # n = 4
    second = 2  # n = 5
    third = 2  # n = 6
    for i in range(7, n + 1):
        result = frist + second
        frist = second
        second = third        
        third = result
    return result

if __name__ == '__main__':
    print(result23(4))  # 1
    print(result23(6))  # 2
    print(result23(7))  # 3
    print(result23(10))  # 7