矩陣就是描述線性變換的，線性變換指的是對空間的操作

，有一維空間，二維空間，三維空間到無限維空間，一般我們只用到三維，卷積神經網路用到四維，再高維我沒用到過，矩陣的每列代表新空間下的新的基向量。

如下圖所示，向量(-1,2) 代表老空間下的位置，矩陣*向量代表新空間下的位置

說明: 較淺的白色線是原空間的網格線，深顏色的藍線是新空間下的網格線

II. 矩陣和線性方程組

1.矩陣的用途

矩陣最大的用途是方便的求解複雜的線性方程組，注意說的是線性，而不再使用小學或初中時學的代入法一點點求解方程組

2.從線性變換角度解釋線性方程組

A描述了線性變換，把原來的網格線變成斜的網格線,扭曲了原空間

$\vec{x}$ 是老空間下的向量，而 $\vec{v}$ 是對應的新空間下的向量

現在是你知道了矩陣A，也知道了新空間下的的向量 $\vec{v}$ ，求老空間下的向量 $\vec{x}$ 長啥樣?

3.矩陣A扭曲空間的幾種效果

(1) 共線

運氣差的話，你把二維的老空間一變換，得到的新的基向量居然共線了，這你就丟了一個維度

行列式的幾何意義是描述了單位區域面積的縮放比例，行列式=0

(2) 不共線

運氣還不錯，保留二維空間，並且行列式 $\neq$ 0

III.矩陣的逆

1.矩陣逆的幾何意義

逆就是跟你反著來，你順時針旋轉90度，逆就是逆時針旋轉90度；你向左剪下變換，逆向右變換

如圖，A矩陣代表逆時針旋轉，牢記矩陣描述了變換

A的逆就是順時針旋轉，一正一負等於沒動彈，所以 $A^{-1}A=E$ （E是單位矩陣，代表什麼也不做）

所以通過逆矩陣來求解原空間的向量

2.逆矩陣與行列式與方程組的解

(1)逆矩陣與行列式的取值

A的行列式非0

說明新空間保持了維度，可以通過把倆基向量撥回到原空間下的位置來跟蹤v的位置的變化來看出x在哪，逆矩陣A^(-1)就是用於把新空間變換到老空間，存在逆矩陣

A的行列式為0

說明新空間丟失了維度，丟失的資訊找不回來了，所以沒有辦法再撥回到原空間，也就不存在逆變換

撥回的過程: 網格線撥回了一點點

撥回來了

(2) 行列式為0一定不存在解嗎?

<1> 二維空間下

倆基向量共線時，det(A)=0。這時v向量如果正好和基向量共線

那麼一個v可以映射回好多個x

舉個實際點的例子,

$\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1& 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$

化簡得x+2y=1; 所以x和y的取值有無數多種

當v向量不能用基描述時，說明無解。

<2> 三維空間下

三個基向量共線或共面或共點，同樣丟失維度，det(A)=0,所以也沒逆變換

當共線時，與壓縮成平面相比，解存在的難度更高，因為現在只有一維資訊，我們可以用秩來描述當前空間的維度，來表明到底損失沒損失維度

IV. 秩

1.秩的幾何意義

描述了變換後的空間的維數，線是一維，平面是二維，也就是線性無關的基向量的個數，也就是矩陣線性無關的列向量的個數

原來的二維空間壓縮成一根線，2x2矩陣的rank最大為2(矩陣就是變換後的空間的基向量)

原來的三維空間壓縮成一個面,3x3矩陣的rank最大為3

2.矩陣的列空間(好像和秩沒關，但還是放這裡講了)

矩陣的列空間是指所有基向量的線性組合。為啥叫列空間呢?因為矩陣的列就是變換後的空間的基向量

換個詞描述，就是基向量的張成空間，也是列向量的張成空間，咋感覺這麼多文字遊戲啊!

矩陣的秩也就是列空間的維數，秩達到列數時稱為滿秩

3.零空間

其實就是在原點的向量，也就是列空間一定包含0向量

如果矩陣滿秩的話，也就是新空間沒有維度損失，那麼只有老空間的零向量能對映到新空間的零向量

舉個例子，

$\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0& 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$

化簡得到: 2x=0,2y=0,解得x=0,y=0。

下圖新空間還是二維，滿秩

非滿秩情況下有維度損失，比如把二維空間壓縮到一根直線

這時新空間的零向量對應原空間的好多向量，為啥呢?

舉個例子，

$\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4& 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$

化簡得2x+y=0; 所以y=-2x,解確實在一條直線上

總結

1.矩陣的逆代表相反的線性變換

2.行列式為0，說明維度相比原空間有損失，從新空間撥回不到老空間了，也就沒有逆變換。也就是降維容易升維難啊

3.秩描述了現在空間的維度

06 逆矩陣，列空間，零空間

Table of Contents I. 重申矩陣的作用 II. 矩陣和線性方程組 1.矩陣的用途 2.從線性變換角度解釋線性方程組 3.矩陣A扭曲空間的幾種效果 (1) 共線 (2) 不共線 III.矩陣的逆 1.矩陣逆的幾何意義 2.逆矩

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