0 這一節會用到以下內容 ：

子空間

線性無關

1 零空間的計算

利用矩陣的初等變換求一個矩陣的零空間(Ax=0)：

其中矩陣A的行簡化階梯型(reduced row echelon form)記做rref(A)

獲得方程組的增廣矩陣：

化為行簡化階梯形：

轉化回方程組：

這是就求出了A的零空間：

(i)觀察上邊張成零空間的兩個列向量觀察它們的第三和第四個分量。很容易判斷出他們是線性無關的。

因此他們是該零空間的一組基。dim(N(A))=2 零空間的維度也叫做零度(nullity)

3 主元與自由元

通過求以上的零空間我們可以發現x3和x4是可以取任意的值的 而x1和x2可以用x3和x4的線性組合來表示

反之卻不能。因此我們把可以自由取值的分量稱為自由元如上邊的x3，x4，對應的矩陣的列稱為自由列，如上邊矩陣的3，4列

而本身不能自由取值需要通過自由元獲得的稱為主元，對應的列稱為主列(pivot column).如上邊矩陣的1，2列,每個主列只有一個

分量為1，其餘的是0.

4 矩陣列空間的維數

(i)觀察剛才的行簡化階梯形：

其中前兩列是線性無關的 而後兩列均可以用前兩列的線性組合表示。因此：

原矩陣A的前兩列構成了列空間的一組基dim(C(A))=2

(ii)矩陣的列向量除了主列就是自由列因此如果用一個線性對映T U->X來表示矩陣A的話有：

dim(U)=dim(C(A))+dim(N(A))

(iii)矩陣的列空間的維數有另一個名稱叫做矩陣的秩(rank)因此有：

dim(C(A))=rank(A).