03 用幾何來計算導數
為什麼要學會求導
好多實際問題要求變化率，這就和導數有關
求導數如果只背個公式，就會造成忘記導數的本質
導數的本質是一個量微小變化後，造成另一個量也發生變化後，這兩者之間的關係
開始幾何上的探究
1.x的二次冪
x增加dx後，f增加了df，問df/dx為多少?視覺化之後，df/dx為切線的斜率
但是這樣視覺化也並不能告訴我們導數的具體值。下面通過另一種方式
畫成正方形面積的表示形式如下圖所示
dx是非常小的量，它的多少次方可以忽略的，所以df=2xdx,所以df/dx=2x,說明由長度變化dx引起的面積變化率是2x
2.x的三次冪
當dx趨於0時，增加的體積越來越可以用三個大面表示，後面的可以兩項可以忽略掉。可以先忽略掉再除，或者先除再忽略，反正結果都是
數學家發現一個規律，即冪函式的求導公式。不知這個規律咋來的，也不可能都把圖畫出來啊，應該是代入法加數學歸納算出來的。
這種直接根據公式算結果的辦法時間長就讓我們忽略了其中的幾何過程。但是我們先別急著直接用這些公式，先想想為啥對x的3次方以上也合適呢？
3.更高次冪
確實方法是把dx代入，得到增長後的面積。
4.幾何上考慮1/x
以後我們看到求導，並不要急著代入公式，而應該想想背後的幾何道理。
以1/x開始，函式就是在問, 什麼數乘以x為1？
想象一灘水，面積為1，寬是x，高就是1/x。寬變化高就會接著變。
1/x的影象就隨x的移動劃出來了，太神奇了啊
x增加dx，造成橙色面積沒了，藍色面積有了。相互抵消才行，你算算這時導數是多少？
同理，讓你算下面這個式子，通過圖形很容易看出來。
5.正弦函式
函式在x-y座標系的表示
轉成θ座標系，導數就是此圖的切線的斜率，繪出一些關鍵點的斜率，這樣你可能注意到它像cosθ，但是你通過影象看不出它就是。需要定義的方式來求導，而不是直接看出來。
d（sinθ）和dθ畫到圖裡就是這樣了。他倆的比值是多少呢？
通過相似定理
感悟
發現開講人就是通過畫圖的方式來算這個導數，而不是簡單的讓我們背公式，這樣我們雖然會算，但不知咋得來的，可以通過代入dx的方式來算，比如