杜教篩學習筆記
QwQ一個不會莫比烏斯反演的蒟蒻來寫杜教篩的博客了
這個是杜教篩的一般形式
中間那個先枚舉幾倍，實際上相當於把令\(i=k*d\) 然後進行k和d枚舉
這麽空說怎麽好理解
我們來引入兩道例題吧
\(51nod\) 莫比烏斯函數之和
求\[\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\]
一看這個題，貌似沒什麽頭緒呀。
我們可以現推一下
因為\(\mu * 1 = e\)（或者寫成\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\)
所以\[\mu(n)=e(n)-\sum_{d|n,d!=n}\mu(d)\]
那麽\[ans=\sum_{i=1}^{n}(e(i)-\sum_{d|i,d!=i}\mu(i))\]
因為\(\sum_{i=1}^{n} e(i)=1\)
所以\[ans=1-\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i,d!=i}\mu(i)\]
我們令\(i=k*d\)，然後分別枚舉k和d
\[ans=1-\sum_{k=2}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\mu(i)\]
這裏k從2開始枚舉的原因是因為\(d!=i\)
到這裏我們能發現對於\(\frac{n}{k}\)可以整除分塊 且\(\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\mu(i)\)這個式子實際上是一個子問題，可以通過遞歸求值，只需要記憶化一下，就可以解決了
那麽到這裏，我們杜教篩的大致思路也就出來了
1.將一些小數的ans值篩出來，然後記憶化
2.對於一個數\(x\)，我們可以進行分塊，然後遞歸求解
直接上代碼
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<queue> #include<unordered_map> using namespace std; inline long long read() { long long x=0,f=1;char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();} while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();} return x*f; } const int maxn = 4700000; int prime[maxn],check[maxn]; int mu[maxn]; int tot; unordered_map<long long,int> mp; void init(int n) { mu[1]=1; check[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (!check[i]) { prime[++tot]=i; mu[i]=-1; } for (int j=1;j<=tot;j++) { if (i*prime[j]>n) break; check[i*prime[j]]=1; if (i%prime[j]==0) break; mu[i*prime[j]]=-mu[i]; } } for (int i=2;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1]; } long long l,r; long long dfs(long long x) { if (x<=maxn) return mu[x]; if (mp[x]) return mp[x]; long long ans=1; for (long long i=2,j=0;i<=x;i=j+1) { j=x/(x/i); ans=ans-dfs(x/i)*(j-i+1); } mp[x]=ans; return ans; } int main() { init(maxn); l=read(),r=read(); cout<<dfs(r)-dfs(l-1); return 0; }
第二個問題是\(51nod\) 歐拉函數之和
其實這兩個問題是差不多的
針對這個問題，我們要求的是\[\sum_{i=1}^{n}\phi(i)\]
還是同樣
因為\(id=1*\phi\) (或者寫成\(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)）
那麽\[\phi(n)=id-\sum_{d|n,d!=n}\phi(d)\]
那我們要求的\[ans=\sum_{i=1}^{n}(id-\sum_{d|n,d!=n}\phi(d))\]
\[ans=\frac{(n+1)n}{2}-\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i,d!=i}\phi(d)\]
設\(i=k*d\)
\[ans=\frac{(n+1)n}{2}-\sum_{k=2}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\phi(d)\]
\[ans=\frac{(n+1)n}{2}-\sum_{k=2}^{n}ans({\lfloor \frac{n}{k}\rfloor})\]
然後就可以和上一道題一樣的思路，直接做就好
上代碼（註意取膜的時候的一些註意事項）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
#include<unordered_map>
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 6e6+1e2;
const ll mod = 1e9+7;
ll phi[maxn];
ll prime[maxn];
int check[maxn];
ll l,r;
int tot;
ll qsm(ll i,ll j)
{
ll ans=1;
while (j)
{
if (j&1) ans=ans*i%mod;
i=i*i%mod;
j>>=1;
}
return ans;
}
ll inv = qsm(2,mod-2);
unordered_map<long long,long long> mp,mp1;
void init(ll n)
{
phi[1]=1;
check[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!check[i])
{
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=tot;j++)
{
if (i*prime[j]>n) break;
check[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]%mod;
break;
}
else
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)%mod;
}
}
}
for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;
}
ll dfs(ll x)
{
if (x<=maxn) return phi[x]%mod;
if (mp1[x]) return mp[x]%mod;
long long ans=x%mod*(x%mod+1)%mod*inv%mod;
for (ll i=2,j=0;i<=x;i=j+1)
{
j=x/(x/i);
ans=(ans-(j-i+1)%mod*dfs(x/i)%mod+mod)%mod;
}
ans=(ans%mod+mod)%mod;
mp[x]=ans;
mp1[x]=1;
return ans;
}
int main()
{
init(maxn-10);
l=read();
cout<<dfs(l)%mod;
return 0;
}
杜教篩學習筆記