其實從嚴格意義上說，動態規劃，並不是一種演算法，而是一種程式設計技巧，除去無關運算，降低時間複雜度。

舉個例子：

經典例子1-階乘:

遞迴實現：fac(x)=x*fac(x-1)，臨界條件為x==0時，返回1。

以x==4時，解空間樹：

遞迴時由上往下延展，解問題時從下往上。

經典例子2-斐波那契：

fib(x)=fib(x-1)+fib(x-2)。

用遞迴的方式描述為：
#include<cstdio>
using namespace std;

int fib(int x){
    if(x<=1)return 1;
    else return fib(x-2)+fib(x-1);
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d",fib(n));
    return 0;
}
我們假設n為4，那麼在跑dfs的時候，生成的解空間樹為:

我們可以觀察到

1.雖然有生成2^(n-1)個節點，但是實際上有很多節點進行了重複的運算[這棵樹有兩個Fib(2)和三個Fib(1)]。

2.所有的中間節點在自己所在鏈未延伸到葉子的時候都是未知解的，但是在伸展到葉子節點時，觸碰到了邊界條件，最終所有的值都是從葉子向上回填的，解決的問題的規模逐漸變大，因此才觸發了從小規模向大規模計算以優化dfs的動態規劃技巧。

經典例題3-漢諾塔：【下面將逐步開始講一些隱藏在條件內的動態規劃】

漢諾塔的問題是給三根杆子A,B,C，在A上有n個盤子，要求你把這n個盤子放到C上去，盤子之間有大小關係，剛開始在A上的盤子從上至下是從小到大的，不能把大盤子放到小盤子之上。

我們先以n=3為例分析一下過程：

1.先將1從A->C

2.然後將2從A->B

3.再將1從C->B

4.最後將3從A->C

於是，當C上有一個盤子之後，B上累加有n-1個盤子，現在我們完全可以把B當作A’，將A當作B‘，於是問題變成了將A‘上的n-1個盤子放到C上。

總結一下過程：

1.先將n-1個盤子從A->B

2.將n號盤子從A->C

3.將n-1個盤子從B->C

於是問題的規模公式為T(n)=T(n-1)+1+T(n-1)->T(n)=2*T(n-1)+1。

邊界條件為：T(1)=1。

反推得到T(n)=2^n-1，即為漢諾塔在n規模下需要的最小步數。

正常會對1步驟有疑問，因為在遞迴過程裡他們沒有顯式表現出來，但是實際上由於解決1步驟的過程和3步驟是一樣的，因此直接當作是一個子問題的遞迴過程就行。由於C杆上放的是每次遞迴規模下的最大盤子，因此什麼盤子都可以放上去，就可以把它當作是空的。

經典例子4-列印所有序列：給你一個串，求出他的所有子集串。

所有子集？離散數學中稱之為冪集。元素個數必定為2^n。

證明：對於每個元素，都有選擇和不選兩種抉擇，n個元素的選擇狀態就會有2^n。【可以用二進位制思考】

經典例子5-求牛的數量：第一年有一頭牛，每頭牛在第三年可以生小牛，求第n年有多少頭牛。

經典例子6-數字路徑：一個二維陣列，每次可以選擇向右或者向下，求一條路徑，使得從左上角到右小角經過的數字和最小。

對於任意一個非邊界位置位置(i,j)，每次可以選擇走(i+1,j)或者(i,j+1)。

我們來看看重複計算，以2*3的矩陣為例：

7 2 3

6 4 9

遞迴的解空間樹：

顯而易見，有重複的待求解狀態狀態。

這裡我們可以普及幾個名詞了：

無後效性：當我們要求(2,2)->(2,3)的最短路徑大小時，對於(1,1)來說，他可以通過向右再向下(1,1)->(1,2)->(2,2)到達該點，也可以通過先向下後向右(1,1)->(2,1)->(2,2)到達該點。無效性指的是(2,2)->(2,3)的最短路徑的求解與如何從(1,1)->(2,2)的過程無關。

重複計算：在樸素遞迴中，由於不會記錄已經計算過的小狀態，所以當第二次碰到的時候，依舊得重新算一次，屬於重複的冗餘計算。

經典例子7-湊數：有一個數組，現在給出目標和值aim，問是否可從這些初中選出一些數，正好能湊出數aim。

當我們從這些數中選數的時候，實際上對於任意一個數，都有兩種選擇(選或不選)

#include <cstdio>
int Arr[105];
bool isOk[105][105];
int main() {
    int n,aim,sum=0;
    scanf("%d%d",&n,&aim);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&Arr[i]);
        sum+=Arr[i];
    }
    isOk[n][aim]=true;
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        for(int j=sum;j>=0;j--){
            if(j+Arr[i+1]<=sum)
            isOk[i][j]=isOk[i+1][j]||isOk[i+1][j+Arr[i+1]];
            else isOk[i][j]=isOk[i+1][j];
        }
    }
    printf("%s",isOk[0][0]?"Ok":"NotOk");
    return 0;
}

經典例子8-湊硬幣：

你有1元，2元，5元硬幣各無數個，現在給出x，要求你用最少的硬幣湊出x塊錢。

對於每個規模n，分別求dfs(n-1)、dfs(n-2)、dfs(n-5),分別表示在有n-1時拿1個1元、在有n-2時拿1個2元、在有n-5時拿1個5元：

邊界條件：

1.如果規模n<0，表示不可行解，則忽略此種情況

2.如果規模n=0，表示正好湊數了原問題n的解

以x=6為例，解空間樹為：

太龐大了，博主懶得畫完了>-<，反正可以顯然看出這裡有很多的重複計算。

經典例子9-最長上升子序列：

有一個數串，先在要求你找出一個序列，使得這個序列保持單調遞增性，並且給出最大的長度。

思路：假設我們考慮以Ai為結尾元素，用Bi表示以Ai結尾的最長上升序列的長度，當我們要求Bi+1的時候，我們需要用索引index遍歷一遍B陣列前面的i個數，如果Aindex<Ai+1，那麼就可以把Aindex所擁有的最長上升子序列後面接上Ai+1得到Bi+1，在這i個數中求最大值即可，時間複雜度O(n^2)。

優化：如果我們已經有了長度為len的序列，為了使得這個序列更長【後面可接上的數更多】，那就要求在這個長度下的結尾元素儘可能的小。我們設array[i]表示長度為i時，最小的結尾元素。因此當考慮Ai+1的時候，對array陣列二分，更新array即可，最長上升子序列長度就是array陣列的長度。

改：最長非下降子序列：用upper_bound()得到第一個比自己大的數即可。

改2：最長非上升子序列：可以用對映將資料的大小關係逆轉，就變成了一個最長非下降子序列問題。

經典例子10-最長公共子序列

給兩個串，求他們的最長公共子序列。

思考：

1.如果Ai==Bj，那麼我們只要知道A1~Ai-1和B1~Bj-1的最長公共子序列即可。

2.如果Ai！=Bj，那麼我們應該求的是A1~Ai-1與B1~Bj的最長公共子序列長度和A1~Ai與B1~Bj-1的最長公共子序列長度的大值。