演算法-跳錶
為什麼 Redis 要用跳錶來實現
什麼是跳錶
二分查詢中，底層資料結構是陣列。如果底層資料結構換成連結串列，使其支援二分查詢，那麼就城這種資料結構為跳錶。
跳錶是一種各方面效能都比較優秀的動態資料結構。它支援快速的查詢，插入以及刪除操作，實現起來也不復雜，甚至可以替代紅黑樹。
理解跳錶
原始連結串列｛1，3，4，5，7，8，9，10，13，16，17，18｝
一級索引｛1，4，7，9，13，17｝
二級索引｛1，7，13｝
為了快速查詢，對連結串列建立索引。首先對當前層級，每兩個元素抽出一個，作為上級資料(索引層)。例如，對原始資料集合建立索引的索引就是一級索引。
在一級索引上查詢元素 16，遍歷一級索引到元素 13 的位置，發現元素 16 在區間 13 到 17 之間。然後跳轉到原始連結串列，從元素 13 這個節點開始往後找，最終找到元素 16 的節點。在這個過程中，一共遍歷節點 6 個。如果沒有索引，那麼在原始連結串列中找到元素 16 需要遍歷10 個節點。
如果在一級索引上再次建立索引，每兩個元素提取一個，組成下一級索引層就是二級索引。在二級索引上查詢元素 16，遍歷一級索引到元素 13 的位置，然後跳轉到一級索引，發現元素 16 在區間 13 到 17 之間。然後跳轉到原始連結串列，從元素 13 這個節點開始往後找，最終找到元素 16 的節點。在這個過程中，一共遍歷節點 4 個。如果沒有索引，那麼在原始連結串列中找到元素 16 需要遍歷10 個節點。
上述例子中，資料量比較小，但是也足以讓我們看出來構建過索引之後，再查詢某個元素，效率已經提升了。這種連結串列加多級索引的結構，就是跳錶。
跳錶查詢時間複雜度分析
根據剛才的距離，可以發現沒增加一級索引，該索引層的節點個數就是上一層及的二分之一。所以可以得出每層索引元素的個數：n/2，n/4，n/8…2/(n^k)，其中 n 為初始資料元素個數，k 為索引層級。
假設索引層級為 h ，最高索引有兩個節點，那麼 n/(2^h) = 2，h = log2|n - 1。在跳錶查詢某個資料時，每一層要遍歷 m 個節點，那麼查詢到某個資料，時間複雜度就是 O(m*logn)。
那麼 m 值等於多少呢？根據剛才構建索引的資料結構來看，當指標節點從上一層索引轉移到下一層索引的時候，上層索引區間對應的下層索引資料，只有三個元素，所以 m = 3。例如上面跳錶，查詢值為 8 的元素。在二級索引中，指標在 7 的位置需要跳轉到一級索引查詢，但是我們已經明確要查詢的元素就在 7~13 的區間，指標跳轉到一級索引的時候，7~13 這個區間只有三個元素，當指標跳轉到初始資料的時候，7~9 這個區間也只有三個元素。所以，類推出結論：按照每兩個元素提取一個構建的索引，每一次最多遍歷三個元素，所以 m = 3，最終的時間複雜度就是 O(*logn)。
跳錶的記憶體佔用
上述描述中，我們已經推匯出每一層索引節點的個數，那麼索引層總共建立的節點個數是：2/n + 4/n + … + 4 + 2 = n - 2。所以，跳錶的空間複雜度為 O(n)。雖然時間複雜度為 O(n)，但是實際開發工程中，我們構建索引的時候，並不會把整個物件拿出來構建索引，而是利用物件的個別屬性的值建立索引。所以，跟整個物件佔用的記憶體來比，依據屬性值建立的索引，佔據的空間就很小了。
跳錶的查詢刪除操作時間複雜度
首先，我們要找到要插入或者要刪除的節點的位置，時間複雜度已經是 O(logn)。對於雙向連結串列來說，插入刪除操作時間複雜度是 O(1)，所以雙向連結串列實現的跳錶資料結構，插入刪除操作的時間複雜度也是O(logn)。
跳錶索引的動態更新
關於這一點，我理解的還是不太透徹。王爭老師闡述的是利用一個隨機函式，要插入一個節點 6，如果隨機函式生成值 k ，那麼就在一級到 k 級索引中全部插入節點 6 的索引。從概率上講，最終生成的索引也將是均勻分佈的。
為什麼 Redis 要用跳錶來實現
Redis 的有序集合是通過跳錶來實現的，嚴格的講，還用到了散列表。這就如同開發語言中的排序方法，針對不同的資料規模，會有不同的排序實現。
Redis 有序集合的核心操作：插入，刪除，查詢，按區間查詢，迭代輸出有序序列。按照區間查詢，紅黑樹實現的效率要低於跳錶。
跳錶相對於紅黑樹程式碼更容易實現，容易讓人理解。跳錶更加靈活，可以通過改變索引構建策略，有效平衡執行效率和記憶體消耗。
多數程式語言的 Map 就是基於紅黑樹實現的，使用起來更加方便。而跳錶沒有現成的實現，需要自己開發。
總結
本文創作靈感來源於 極客時間 王爭老師的《資料結構與演算法之美》課程，通過課後反思以及借鑑各位學友的發言總結，現整理出自己的知識架構，以便日後溫故知新，查漏補缺。
初入演算法學習，必是步履蹣跚，一路磕磕絆絆跌跌撞撞。看不懂別慌，也別忙著總結，先讀五遍文章先，無他，唯手熟爾~
與諸君共勉
