1.零空間（Ax=0）

上面為矩陣A，然後我們對A進行消元，因為消元是行變換不會改變Ax=0的解，零空間也不會改變，會改變的是列空間

最後得到消元結果（上三角矩陣）

這個U又可以說是階梯形式的矩陣(echelon form)，第一列和第三列為主元列，而其餘的列為自由列，這時定義了一個rank秩，它是矩陣中主元個個數，本例rank=2，現在我們變成了Ux=0，解和零空間不變。

自由列的意思是，自由列上的變數可以自由的分配任意數值，因此我們第二列和第四列的變數x2和x4可以自由賦值，然後求解x1和x3即可。

我們先取x2=1，x4=0，利用回代可以求出x1和x3：

於是我們又發現乘以一個常數解仍然成立

同理我們再找一個特解（自由變數為我們賦予特定的值求出來的解叫特解）

於是Ax=0所有的解就出來了。零空間所包含的正好是特解的線性組合。我們發現特解的數目就是自由列的數目，如果一個矩陣為m*n，那麼就有n個變數，去除主變數的個數r，那麼自由列的個數為n-r。

總結演算法：1.消元完得到主元的數量r，剩下n-r個自由變數。2.令這些自由變數為0和1得出特解。所有的特解構成了零空間的基，特解的線性組合即構成了整個零空間。

2.簡化行階梯（R(reduced)）

我們把上述的U進行化簡：

最簡的形式包含了所有資訊：

1）主行（行一，行二）；

2）主列（列一，列三），自由列；

3）一個單位陣，主元上下均為0，而且主元為1，單位陣位於主列和主行的交匯處。以上是一個2×2的單位陣；

4）一個全為0的行，全為0的行總表示，該行的原行是其他行的線性組合；

5）從Ax=0變為Ux=0再變為Rx=0的解均相同。

我們可以進行列交換把主元列和自由列重新排列：

讓單位矩陣在左側，其餘的在右側，單位陣記作I，自由陣記作F，變成下圖：

於是可以容易得出零空間矩陣N：

驗證該零空間矩陣：

所以零空間為：

注意：如果在形成R=［ I，F］的時候進行了列交換，本例進行了第二列和第三列的交換，那麼就要在N中交換第二行和第三行得出最後的解。

本節課最後一個例子：