求解Ax=b:可解性和解的結構-線性代數課時8(MIT Linear Algebra , Gilbert Strang)
這是Strang教授的第七講,上一講講了求解Ax=0,也就是求解矩陣的零空間,這節課將講解求解完整的線性方程組Ax=b,以及它解的各種可能性。
消元法求解Ax=b示例
上一講求解了Ax=0,消元法將問題Ax=0轉換為Rx=0,R中的自由變數給出了Ax=0的特解。因為右側變數在消元前後始終為零,所以我們並沒有關注右側變數的變化,上節課中的解x是A的零空間。本節課將要考慮b不等於0的情況,和求解Ax=0不一樣,對Ax=b用消元求解,消元的物件是一個增廣矩陣[A b],消元的結果是[R d],問題Ax=b轉換為求解Rx=d,下面的例子介紹了消元的過程:
有方程組,
對於上面的方程組,它的增廣矩陣[A b]和校園過程如下:
那麼Rx=d在什麼情況下有解呢,答案在不存在主元的行,在例子中只有第三行,第三行的方程式,只有滿足這個等式的b在本例中才有解,我們令上面通式中b=(1,5,6),那麼上面的消元結果:
可解性和解的結構
上面的例子中介紹了消元的過程並得到了[R d],並且給出了一個特殊的b=(1,5,6)使得方程組有解,那麼Ax=b的可解性是怎樣的呢,這裡用文字總結一下:
Ax=b有解,當且僅當b屬於A的列空間 <=>
如果A的各行的線性組合得到0向量,那麼b中的元素同樣的組合得到數0.
那麼,前面的例子中我們已經通過消元得到了Ax=d的簡化行階梯形式[R;d],那麼怎樣得到Ax=d的全部解呢,或者說Ax=d的結構是怎樣的呢?Ax=d的全部解的表示式分為兩部分:
(1). 求得一個特解:設所有的自由變數為0(當然對於實矩陣也可以設定其他任意的實數),求特解;
(2). 求零空間N(A):,.
Ax=b的所有解表示式:,這就是Ax=b的解的結構,可以驗證
(1).求特解 ,令自由變數,得到:
通過解上面的方程組得到,所以我們求得的特解是:
(2).求零空間,上一節已經介紹了求解零空間矩陣N的公式,直接帶入,得到:
所以,表示式如下:
(3). 最終的Ax=b的解,表示如下:
秩r包含解的資訊討論
對mxn的矩陣A,它的秩r包含了解的所有資訊,除了用一堆數字表達的解。前面一節課講解了矩陣秩的概念,它表明了A的真實大小,它的值等於A的主元的數目,下面討論一下隨著r的不同取值,方程組Ax=b解的情況:
(1). 列滿秩,r=n:
這時候A沒有自由變數. N(A)=0,消元之後的一般表示式:
Ax=b如果有解(取決於F和d),只有一個特解,因為N(A)=0.
(2).行滿秩,r=m:
這時候只有變數有n-r個.N(A)包含n-r個線性無關的向量的線性組合,消元之後的一般表示式:
Ax=b必有多個解.
(3).即時行滿秩,又是列滿秩,r=m=n:
這種情況,是有n個線性無關列向量的方陣,消元之後的一般表示式:
Ax=b有唯一解.
(4).一般情況,既不是行滿秩也不是列滿秩,r<m,r<n,消元之後的一般表示式:
Ax=b有0個或無窮多個解.
Ax=b解的幾何影象
教學視訊中,教授用上面例子繪製Ax=b的幾何影象,它是一個不過平行於Ax=0 不過原點的平面,由於作圖不易,這裡用書本上另外一個例子來介紹Ax=b的集合影象,這個例子理解起來會更容易,例子:
上面方程組的解:
它的零空間是過原點的直線,通過零空間和上面的解的表示式,我們可以畫出Ax=b的幾何影象如下圖:
例子中Ax=b所在的直線是Ax=0的向量子空間所構成的執行經過平移之後的直線,如果Ax=0有多個自由變數,那麼Ax=b的解將是一個不過原點的多維平面,這也證明了Ax=b的解不是,因為它不過原點。
本節課的內容對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.4章節。