這題是我搜NTT搜到的，當時就看到“多項式開根”這樣的標題，於是找到了L-leader的部落格，補了下冪級數的東西，用兩節數學課學會了。

題面

我再看題解，好像都是教我怎麼開方，求逆的，然後又拖了幾天。終於昨晚睡不著，突然就想到了。。。

先介紹一下生成函式。
簡單的說，就是一個數組a[0..n]，可以生成一個多項式函式（冪級數）

題意是給你二叉樹每個節點可能的點權集合C，元素都<=1e5，對於所有1<=s<=m，有種不同的二叉樹滿足點權和為s，答案模一個費馬素數。

設g[i]為一個01陣列，表示i是否在C出現，f[i]為權值和為i的方案數，即是答案。F為f的生成函式，G為g的生成函式，根據題意g[0]=0，因為存在空樹，f[0]=1；

我們可以列舉二叉樹根的權值，剩下左右兒子為子問題，就有

通過解一元二次方程，再結合f[0]=1，g[1]=0

然後就是多項式求逆和多項式開根了。

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
 

#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))

typedef long long LL;

const int p=998244353,I2=499122177;
const int N=800400;

int cheng(int a,int b)
{
    int res=1;
    for(;b;b>>=1,a=(LL)a*a
 
%p)
    if(b&1)
    res=(LL)res*a%p;
    return res;
}

int n,rev[N];

void init(int lim)
{
    n=1;
    int k=-1;
    while(n<lim)
    n<<=1,k++;
    for(int i=0;i<n;i++)
    rev[i]=(rev[i>>1] >> 1) | ((i&1)<<k);
}

void ntt(int *a,int ops)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    if(i<rev[i])
    swap(a[i],a[rev[i]]);

    for(int l=2;l<=n;l<<=1)
    {
        int m=l>>1,wn;
        if(ops)
        wn=cheng(3,(p-1)/l);
        else
        wn=cheng(3,p-1-(p-1)/l);
        for(int i=0;i<n;i+=l)
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<m;k++)
            {
                int t=(LL)a[i+k+m]*w%p;
                a[i+k+m]=(a[i+k]-t+p)%p;
                a[i+k]=(a[i+k]+t)%p;
                w=(LL)w*wn%p;
            }
        } 
    }
    if(!ops)
    {
        int Inv=cheng(n,p-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=(LL)a[i]*Inv%p;
    }
}

int g[N];
int mx=1,by,nn,mm;
int X[N],Y[N],sqr[N],A[N],B[N],C[N];

void Inverse(int *a,int *b,LL len)
{
    if(len==1)
    {
        b[0]=cheng(a[0],p-2);
        return;
    }
    Inverse(a,b,len>>1);
    init(2*len);
    for(int i=0;i<len;i++)
    X[i]=a[i];
    for(int i=0;i<(len>>1);i++)
    Y[i]=b[i];

    ntt(X,1);
    ntt(Y,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    X[i]=(2ll*Y[i]%p-(LL)X[i]*Y[i]%p*Y[i]%p+p)%p;
    ntt(X,0);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(i>=len)
        b[i]=0;
        else
        b[i]=X[i];
        X[i]=Y[i]=0;
    }
}

void Sqrt(int len)
{
    if(len==1)
    {
        sqr[0]=1;//本題被開方的多項式常數項為1 
        return;
    }
    Sqrt(len>>1);
    Inverse(sqr,A,len);

    for(int i=0;i<(len>>1);i++)
    B[i]=sqr[i];
    for(int i=0;i<len;i++)
    C[i]=g[i];

    init(len*2);
    ntt(A,1);
    ntt(B,1);
    ntt(C,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    A[i]=(1ll*C[i]+(LL)B[i]*B[i])%p*I2%p*A[i]%p;
    ntt(A,0);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        sqr[i]=A[i];
        if(i>=len)
        sqr[i]=0;
        A[i]=B[i]=C[i]=0;
    }
}

int main()
{
    cin>>nn>>mm;
    while(mx<=mm)
    mx<<=1;

    for(int i=1;i<=nn;i++)
    {
        scanf("%d",&by);
        if(by<=mm)
        g[by]=1;
    }

    for(int i=0;i<mx;i++)
    if(g[i])
    g[i]=p-4;
    g[0]=1;

    Sqrt(mx);
    sqr[0]=(sqr[0]+1)%p;

    mmst(g,0);

    Inverse(sqr,g,mx);
    for(int i=1;i<=mm;i++)
    printf("%d\n",(g[i]+g[i])%p);

    return 0;
}