逆元是什麼

• 設S為一有二元運算 * 的集合。若e為(S,*)的單位元且a*b=e，則a稱為b的左逆元素且b稱為a的右逆元素。若一元素x同時是y的左逆元素和右逆元素時，x稱為y的兩面逆元素或簡稱為逆元素。S內的一有兩面逆元素的元素被稱為在S內為可逆的。
• 直觀地說，它是一個可以取消另一給定元素運算的元素。

乘法逆元

• 也就是說，對於一個乘法運算∗b，它的乘法逆元就是它的倒數 b−1 。

分數取模

• 然而在很多題目中，資料都是十分大的，所以題目經常會出現”答案模Ha”，就是對Ha取模，這裡Ha一般是個質數，比如說最常見的 109+7 ( 1000000007 )，此時，要是答案是個分數，那該怎麼辦呢？答案就是要用到分數取模的方法。

• 先把內容寫出來，下面再證明：

當gcd(b,Ha)==1時(其實就是 b 和 Ha 互質)

a∗b−1 ≡ a∗bHa−2 (mod Ha)

這裡的”≡”是同餘符號，意思是左邊那個和右邊那個除以最後括號裡的Ha的餘數相同。
這樣我們要求a/b模Ha的值時，就不會不知所措，只需求出 a∗bHa−2 模Ha的值就行了。

證明

這個的證明需要用到費馬小定理，費馬小定理就先不證了，可以百度或看其它的博文。

費馬小定理：

• 假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 ap−1 ≡ 1 (mod p)
  。
• 即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

若gcd(b,Ha)==1那麼我們就可以做一下推導（此處模數都為Ha，就不打上去了）：

bHa−1 ≡ 1
bHa−2 ≡ b−1
a∗bHa−2 ≡ a∗b−1

第二行是第一行兩邊同乘 b−1 得到的

這樣，分數取模我們就學會了。

注意

要注意幾點：
* Ha必須是質數
* b與Ha要互質