B-樹,B+樹,B*樹詳解
B-樹
B-樹是一種多路搜尋樹(並不一定是二叉的)
1970年,R.Bayer和E.mccreight提出了一種適用於外查詢的樹,它是一種平衡的多叉樹,稱為B樹(或B-樹、B_樹)。
一棵m階B樹(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜尋樹。它或者是空樹,或者是滿足下列性質的樹:
1、根結點至少有兩個子女;
2、每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足:┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1;
3、除根結點以外的所有結點(不包括葉子結點)的度數正好是關鍵字總數加1,故內部子樹個數 k 滿足:┌m/2┐ <= k <= m ;
4、所有的葉子結點都位於同一層。
特點:
是一種多路搜尋樹(並不是二叉的):
1.定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子;且M>2;
2.根結點的兒子數為[2, M];
3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M];
4.每個結點存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1個關鍵字;(至少2個關鍵字)
5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指標個數-1;
6.非葉子結點的關鍵字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];
7.非葉子結點的指標:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的
子樹,P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹,其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹;
8.所有葉子結點位於同一層;
如:(M=3)
B-樹的搜尋,從根結點開始,對結點內的關鍵字(有序)序列進行二分查詢,如果
命中則結束,否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點;重複,直到所對應的兒子指標為
空,或已經是葉子結點;
B-樹的特性:
1.關鍵字集合分佈在整顆樹中;
2.任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中;
3.搜尋有可能在非葉子結點結束;
4.其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢;
5.自動層次控制;
B+樹
B+ 樹是一種樹資料結構,是一個n叉樹,每個節點通常有多個孩子,一棵B+樹包含根節點、內部節點和葉子節點。根節點可能是一個葉子節點,也可能是一個包含兩個或兩個以上孩子節點的節點。
用途:
B+ 樹通常用於
B+樹的定義
B+樹是應檔案系統所需而出的一種B-樹的變型樹。一棵m階的B+樹和m階的B-樹的差異在於:
1.有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字,每個關鍵字不儲存資料,只用來索引,所有資料都儲存在葉子節點。
2.所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的資訊,及指向含這些關鍵字記錄的指標,且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大順序連結。
3.所有的非終端結點可以看成是索引部分,結點中僅含其子樹(根結點)中的最大(或最小)關鍵字。
通常在B+樹上有兩個頭指標,一個指向根結點,一個指向關鍵字最小的葉子結點。
B+樹是B-樹的變體,也是一種多路搜尋樹:
1.其定義基本與B-樹同,除了:
2.非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同;
3.非葉子結點的子樹指標P[i],指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹
(B-樹是開區間);
5.為所有葉子結點增加一個鏈指標;
6.所有關鍵字都在葉子結點出現;
如:(M=3)
B+的搜尋與B-樹也基本相同,區別是B+樹只有達到葉子結點才命中(B-樹可以在
非葉子結點命中),其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢;
B+的特性:
1.所有關鍵字都出現在葉子結點的連結串列中(稠密索引),且連結串列中的關鍵字恰好
是有序的;
2.不可能在非葉子結點命中;
3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引(稀疏索引),葉子結點相當於是儲存
(關鍵字)資料的資料層;
4.更適合檔案索引系統;
B*樹:
是B+樹的變體,在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標;
B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M,即塊的最低使用率為2/3
(代替B+樹的1/2);
B+樹的分裂:當一個結點滿時,分配一個新的結點,並將原結點中1/2的資料
複製到新結點,最後在父結點中增加新結點的指標;B+樹的分裂隻影響原結點和父
結點,而不會影響兄弟結點,所以它不需要指向兄弟的指標;
B*樹的分裂:當一個結點滿時,如果它的下一個兄弟結點未滿,那麼將一部分
資料移到兄弟結點中,再在原結點插入關鍵字,最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字
(因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了);如果兄弟也滿了,則在原結點與兄弟結點之
間增加新結點,並各複製1/3的資料到新結點,最後在父結點增加新結點的指標;
所以,B*樹分配新結點的概率比B+樹要低,空間使用率更高;
小結:
B-樹:
多路搜尋樹,每個結點儲存M/2到M個關鍵字,非葉子結點儲存指向關鍵
字範圍的子結點;
所有關鍵字在整顆樹中出現,且只出現一次,非葉子結點可以命中;
B+樹:
在B-樹基礎上,為葉子結點增加連結串列指標,所有關鍵字都在葉子結點
中出現,非葉子結點作為葉子結點的索引;B+樹總是到葉子結點才命中;
B*樹:
在B+樹基礎上,為非葉子結點也增加連結串列指標,將結點的最低利用率
從1/2提高到2/3;