Dijkstra演算法步驟及程式碼
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單源最短路徑問題,即在圖中求出給定頂點到其它任一頂點的最短路徑。在弄清楚如何求算單源最短路徑問題之前,必須弄清楚最短路徑的最優子結構性質。
一.最短路徑的最優子結構性質
該性質描述為:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑,k和s是這條路徑上的一箇中間頂點,那麼P(k,s)必定是從k到s的最短路徑。下面證明該性質的正確性。
假設P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑,則有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是從k到s的最短距離,那麼必定存在另一條從k到s的最短路徑P'(k,s),那麼P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。則與P(i,j)是從i到j的最短路徑相矛盾。因此該性質得證。
二.Dijkstra演算法
由上述性質可知,如果存在一條從i到j的最短路徑(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一頂點。那麼(Vi...Vk)也必定是從i到k的最短路徑。為了求出最短路徑,Dijkstra就提出了以最短路徑長度遞增,逐次生成最短路徑的演算法。譬如對於源頂點V0,首先選擇其直接相鄰的頂點中長度最短的頂點Vi,那麼當前已知可得從V0到達Vj頂點的最短距離dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根據這種思路,
假設存在G=<V,E>,源頂點為V0,U={V0},dist[i]記錄V0到i的最短距離,path[i]記錄從V0到i路徑上的i前面的一個頂點。
1.從V-U中選擇使dist[i]值最小的頂點i,將i加入到U中;
2.更新與i直接相鄰頂點的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})
3.知道U=V,停止。
演算法步驟:
G={V,E} 1. 初始時令 S={V0},T=V-S={其餘頂點},T中頂點對應的距離值 若存在<V0,Vi>,d(V0,Vi)為<V0,Vi>弧上的權值 若不存在<V0,Vi>,d(V0,Vi)為∞ 2. 從T中選取一個與S中頂點有關聯邊且權值最小的頂點W,加入到S中 3. 對其餘T中頂點的距離值進行修改:若加進W作中間頂點,從V0到Vi的距離值縮短,則修改此距離值 重複上述步驟2、3,直到S中包含所有頂點,即W=Vi為止在儲存路徑的時候,參考程式中的方法,對每一次修改了最小距離的頂點進行記錄,然後使用頂點之間的跳轉進行索引。
/*Dijkstra求單源最短路徑*/
#include <iostream>
#include<stack>
#include<stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include<limits.h>
#define M 100
#define N 100
using namespace std;
typedef struct node
{
int matrix[N][M]; //鄰接矩陣
int n; //頂點數
int e; //邊數
}MGraph;
void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源頂點
{
int i,j,k;
bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
for(i=0;i<g.n;i++) //初始化
{
if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
{
dist[i]=g.matrix[v0][i];
path[i]=v0; //path記錄最短路徑上從v0到i的前一個頂點
}
else
{
dist[i]=INT_MAX; //若i不與v0直接相鄰,則權值置為無窮大
path[i]=-1;
}
visited[i]=false;
path[v0]=v0;
dist[v0]=0;
}
visited[v0]=true;
for(i=1;i<g.n;i++) //迴圈擴充套件n-1次
{
int min=INT_MAX;
int u;
for(j=0;j<g.n;j++) //尋找未被擴充套件的權值最小的頂點
{
if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
{
min=dist[j];
u=j;
}
}
visited[u]=true; //加入已經訪問過的集合,被訪問過的集合裡的點的距離都是到原點距離最近的
for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist陣列的值和路徑的值
{
//當訪問過集合變化的時候,看一下這個集合中新頂點相鄰點到原點的距離是否縮短了
if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&(min+g.matrix[u][k])<dist[k])
{
dist[k]=min+g.matrix[u][k];
//路徑有更新就記錄一下這一步加入訪問集合的頂點~~
path[k]=u;
}
}
}
}
void showPath(int *path,int v,int v0) //列印最短路徑上的各個頂點
{
stack<int> s;
int u=v;
while(v!=v0)
{
s.push(v);
v=path[v];
}
s.push(v);
while(!s.empty())
{
cout<<s.top()<<" ";
s.pop();
}
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int n,e; //表示輸入的頂點數和邊數
while(cin>>n>>e&&e!=0)
{
cout<<"Enter your graph"<<endl;
int i,j;
int s,t,w; //表示存在一條邊s->t,權值為w
MGraph g;
int v0;
int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<M;j++)
g.matrix[i][j]=0;
g.n=n;
g.e=e;
printf("Enter %d verticeIndex and %d edges\n",n,e);
for(i=0;i<e;i++)
{
cin>>s>>t>>w;
g.matrix[s][t]=w;
}
cout<<
cin>>v0; //輸入源頂點
DijkstraPath(g,dist,path,v0);
for(i=0;i<n;i++)
{
if(i!=v0)
{
showPath(path,i,v0);
cout<<dist[i]<<endl;
}
}
}
return 0;
}