P4233 射命丸文的筆記
阿新 • • 發佈:2018-12-28
首先,\(n\)個點的哈密頓迴路共有\[\frac{n!}{n}2^{C_n^2-n}\]
簡單來說就是總共有\(\frac{n!}{n}\)條哈密頓迴路(相當於是圓排列),然後每條哈密頓迴路會出現在\(2^{C_n^2-n}\)張競賽圖中(除了哈密頓迴路上的邊已經定向,剩下的邊的方向隨意)
於是現在的問題就是要求\(n\)個點的強聯通競賽圖的個數(因為存在哈密頓迴路必定強聯通)
設\(g_i\)為\(i\)個點的競賽圖個數,即\(g_i=2^{C_i^2}\),\(f_i\)為\(i\)個點的強聯通競賽圖的個數,那麼有\[g_n=\sum_{i=1}^nC_n^if_ig_{n-i}\]
就是說列舉拓撲序最小的連通分量,然後這個連通分量裡的所有點都向外連邊,外面的邊就隨便連
化一下柿子\[\frac{g_n}{n!}=\sum_{i=1}^n\frac{f_i}{i!}\frac{g_{n-i}}{(n-i)!}\]
然後令\(F\)和\(G\)分別為兩個的生成函式,有\[G=FG+1\]
\[F=\frac{G-1}{G}\]
(常數項是因為空圖的方案數為\(1\),或者說為了防止無法多項式求逆)
然後左轉抄板子
ps:話說運算要在\(mod\ x^n\)下進行我知道,然而從前一直按\(n\)為\(2\)的次冪寫都不會有問題,但這裡必須得按原來的\(n\)來,多項式求逆之後高於\(x^n\)
//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) using namespace std; char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;} int read(){ R int res,f=1;R char ch; while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1); for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0'); return res*f; } char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0; inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} void print(R int x){ if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x; while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; } const int N=5e5+5,P=998244353,Gi=332748118; inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;} inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;} inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;} int ksm(R int x,R ll y){ R int res=1; for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x); return res; } int fac[N],ifac[N],A[N],B[N],F[N],G[N],T[N],r[N],O[N]; int n,x; void NTT(int *A,int ty,int len){ int lim=1,l=0;while(lim<len)lim<<=1,++l; fp(i,0,lim-1)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); fp(i,0,lim-1)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]); for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1){ int I=(mid<<1),Wn=ksm(ty==1?3:Gi,(P-1)/I);O[0]=1; fp(i,1,mid-1)O[i]=mul(O[i-1],Wn); for(R int j=0;j<lim;j+=I)for(R int k=0;k<mid;++k){ int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]); A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y); } }if(ty==-1)for(R int i=0,inv=ksm(lim,P-2);i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],inv); } void Inv(int *a,int *b,int len){ if(len==1)return (void)(b[0]=ksm(a[0],P-2)); Inv(a,b,len>>1);fp(i,0,len-1)A[i]=a[i],B[i]=b[i]; NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1); fp(i,0,(len<<1)-1)A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i])); NTT(A,-1,len<<1); fp(i,0,len-1)b[i]=dec(mul(2,b[i]),A[i]); } void init(){ ifac[0]=fac[0]=fac[1]=1;fp(i,2,n)fac[i]=mul(fac[i-1],i); ifac[n]=ksm(fac[n],P-2);fd(i,n-1,1)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1); } int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin); n=read(),init(); fp(i,0,n)G[i]=mul(ksm(2,1ll*i*(i-1)/2),ifac[i]); int len=1;while(len<=n)len<<=1;Inv(G,F,len); G[0]=0;while(len<=(n<<1))len<<=1; fp(i,n+1,len-1)F[i]=G[i]=0; NTT(F,1,len),NTT(G,1,len);fp(i,0,len-1)F[i]=mul(F[i],G[i]); NTT(F,-1,len); print(1),print(-1); fp(i,3,n){ int x=mul(fac[i-1],ksm(2,1ll*i*(i-1)/2-i)); print(mul(x,ksm(mul(F[i],fac[i]),P-2))); }return Ot(),0; }