今天做題遇到了海明碼，網上相關知識很多，可惜大多都要把知識點看透才能明白海明碼到底是什麼，這裡我整理自己的學習過程和理解。

海明碼初步

首先海明碼是一種校檢碼，數位中包括資料位和校檢位，是奇偶校檢碼的升級。
假設讀者對奇偶校檢碼很熟悉，它只能指出某組資料是否出錯，但是無法確定出錯的位置。海明碼則通過多增加幾個奇偶校檢位，相互關聯，進而找出出錯的位置。當然以上分析都假定出錯只會發生一次，也就是說一組資料最多隻有一個地方出錯。
“互相關聯”是什麼意思？這東西很神奇，繼續往下看。

如果單純看教材，書本上首先映入眼簾的是，已知原始資料為k位，求需要的海明校檢碼的位數r，直接給出公式k+r≤r^2-1。這太違背學習軌跡了。我們重頭來。
原始資料k位，海明碼r位，意味著一組資料是k+r位，重點：資料傳輸中出錯，並不一定是資料位裡的k位出錯，校檢位r位也有出錯的可能性

其二，檢校位的擺放位置
從本質上來說隨便放哪裡都可以，但是為了不同機器、軟體的相容，以及生成、檢校演算法實現的方便，採用如下方式插入檢校碼。

表格第一排是原始資料和檢校位合併後總資料位，從左到右升序，以1起頭。第二排是檢校位和(原始)資料位的擺放位置。
先找規律，開頭兩位都是檢校位，第i個檢校位，位於總位數(i-1)^2的位置處，如第4個檢校位，位於總數位的8。
其他空格的地方是(原始)資料位。

可以理解成，檢校位先固定了位置，(原始)資料再插入其中。
原來是資料位“插”檢校位中，而不是一開始認為的檢校位“插”資料位中，當然這只是一種理解方式。例如：
我需要傳輸1位資料，那就插到3號位，總資料位數為3，檢校位數目2個。
我需要傳輸2位資料，那就插到3和5號位，總資料位數為5，檢校位數目2個。
… …
我需要傳輸5位資料，那就插到3、5、6、7、9號位，總資料位數為9，檢校位數目4個。
… …

其三，檢校位的值的確認
每個檢校位裡面填0還是1的問題。繼續看錶

對於檢校i位，它從自己開始，按照取i位數，跳i位數輪流的方式得到子序列，在子序列中，按照奇偶校驗的方式確定自己的值。

例如下面的資料，原資料為101101，共5位，分別插入第3、5、6、7、9位中，組成一個9位的總資料。現在要確認檢校位的取值，假設為奇校驗法。

我們開始找每個檢校位對應的子序列。
檢校1，從自己開始，取1跳1。即?1101，按奇校驗方式，檢校1=0。
檢校2，從自己開始，取2跳2。即?110，因此檢校2=1。
檢校3，從自己開始，取3跳3。即?11，因此檢校3=1。
檢校4，從自己開始，取4跳4。即?1，因此檢校4=0。
所以整個資料為0111 1100 1

海明碼檢校方法

仔細看這張表。再結合上面以子序列確定對應檢校位的數字分析。

可以發現這樣的規律——
當總資料位1號出錯，“檢校1”的奇偶校驗能報告異常，例如上面的例子，傳輸資料“0111 1100 1”，接受為“1111 1100 1”時，校驗1 的子序列此時為“11101”，奇校驗異常(偶數個1)

其他具體分析略。結論：當總數位的i位出錯時，表中對應有圈圈的檢校位就會報錯，而且這種報錯方式是唯一的，例如當只有檢校2和3報錯時，那麼一定是6號資料出錯(也就是原始資料的第3位)

也就是說，這種報錯和出錯位置的是一一對應的，是不是對公式k+r+1≤r^2有了更深的理解呢？

海明碼只能檢測1位錯誤

大家先想想是不是這樣的。

例如1、2號位同時出錯，查表得，檢校1和2會同時報錯，這和單獨3號位出錯的報錯方法一致。導致系統認為出錯的是3號位，因此1改0，0改1。

再比如5、7號位同時出錯，查表，這時檢校1和3會報錯，而檢校2因為錯了兩次，錯錯得正，反而不報錯。最後系統認為5號位出錯。

還好一般多位出錯的情況極其罕見。當然在通訊極其惡劣的場合，海明碼也沒得救。

（碎碎念：當時看書，覺得這東西真複雜，沒想到弄懂了也挺有趣的）