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logistic regression(LR)對數機率迴歸 / 邏輯迴歸 公式推導

因為是傻瓜式教程,所以一定會非常詳細!一些概念link到了Wiki的相應解釋上。 
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二分類和迴歸的關係

考慮xy 表示的二分類或迴歸問題,其中x 是輸入,y 是輸出。 
1. 在二分類中,y 的值取0或1,代表被分為正類或負類。在迴歸中,y 的取值為連續值。 
2. 線上性迴歸模型中,y=wTx=wx,此處w 為引數向量,x 為輸入樣本向量。 
3. 進一步,廣義線性迴歸模型可以寫為g(y)=wx 或者 y=g1(wx)的形式,其中g 為單調可微函式。所以在對數迴歸中,模型是ln(y)=wx

sigmoid函式與LR的關係

sigmoid函式

:在數學上是擁有性感的s形曲線樣子的函式: 
這裡寫圖片描述

通常說的sigmoid函式指的是這個logistic函式δ(z)=11+ez=ez1+ez 。本文所指的sigmoid函式就是該logistic函式: 
這裡寫圖片描述

sigmoid函式具有以下特點: 
- 值域在(0,1) 
- 求導非常容易δ(z)=δ(1δ(z)) (求導過程見附錄,或Wiki)

我們希望在做二分類時,輸出y 不再是非0即1的取值,而是希望輸出一個有概率意義的(0,1) 之間的值,表示的是分為正類的概率(所以1y是分為負類的概率),然後再做二分類,所以我們挑選sigmoid函式作為廣義線性迴歸的g1,即

y
=δ(wx)=11+ewx
(1)
接下來將符合 y=g1(wx) 形式的(1) 寫為

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