題目大意

有n個隨機變數x1,x2,…,xn。給定區間[l1,r1],…,[ln,rn]，變數xi的值會等概率成為區間[li,ri]中的任意一個整數。

顯然這n個隨機變數的值會有一共∏ni=1(ri−li+1) 種情況，且每種情況出現的概率為 ∏ni=1ri−li+1${\prod }_{i=1}^n{r}_i-l_i+1$。

對於某種情況，令h=max{x1,x2,…,xn}，定義這種情況的權值為：∏ni=1(h−xi+1)${\prod }_{i=1}^n(h-x_i+1)$.

想知道權值的期望是多少？請將答案對 1e9+7 取模後輸出。

解題思路

由於數字值域的範圍比較小，所以考慮列舉最大值 h，對於每一個枚舉出的最大值，統計出該最大值下的情況的答案，既各個區間保證 h 為最大值的可取的數字之和的乘積。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=233, moder=int(1e9)+7;
inline int mul(int a,int b) {return 1ll*a*b%moder;}
inline int add(int a,int b) {return (a+b<moder)?(a+b):(a+b-moder);}
inline int les(int a,int b) {return (a<b)?(a-b+moder):(a-b);}

int n;
int l[maxn], r[maxn];

int
 
 fpow(int a,int k) {
    int res=1;
    for(;k;k>>=1,a=mul(a,a)) if(k&1) res=mul(res,a);
    return res;
}

void work() {
    scanf("%d",&n);
    register int i,j;

    int pro=1, maxx=0;
    for(i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
        pro=mul(pro,(r[i]-l[i]+1
 
));
        maxx=max(maxx,r[i]);
    }

    int ret=0;
    for(i=1;i<=maxx;++i) {
        int pre=1, cur=1;
        for(j=1;j<=n;++j) {
            int x=l[j], y=min(r[j],i);
            int a=i-x+1, b=i-y+1;
            if(a<b) cur=0;
            else cur=mul(cur,(b+a)*(a-b+1)/2%moder);

            x=l[j], y=min(r[j],i-1);
            a=i-x+1, b=i-y+1;
            if(a<b) pre=0;
            else pre=mul(pre,(b+a)*(a-b+1)/2%moder);
        }
        ret=add(ret,les(cur,pre));
    }

    ret=mul(ret,fpow(pro,moder-2));
    cout<<ret<<endl;

    return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
    int T;
    for(scanf("%d",&T);T;T--)
        work();

    return 0;
}