整數劃分問題的動態規劃演算法
阿新 • • 發佈:2019-01-01
/* Name: 整數劃分問題 Copyright: Author: 巧若拙 Date: 06-04-17 09:02 Description: 整數劃分問題是演算法中的一個經典命題之一,有關這個問題的講述在講解到遞迴時基本都將涉及。 所謂整數劃分,是指把一個正整數n寫成如下形式: n=m1+m2+...+mi; (其中mi為正整數,並且1 <= mi <= n),則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,則稱它屬於n的一個m劃分。 這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m); 例如但n=4時,他有5個劃分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}; 注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。 該問題是求出n的所有劃分個數,即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法; --------------------------------------------------------------------- (一)遞迴法 --------------------------------------------------------------------- 根據n和m的關係,考慮以下幾種情況: (1)當 n = 1 時,不論m的值為多少(m > 0 ),只有一種劃分即 { 1 }; (2) 當 m = 1 時,不論n的值為多少,只有一種劃分即 n 個 1,{ 1, 1, 1, ..., 1 }; (3) 當 n = m 時,根據劃分中是否包含 n,可以分為兩種情況: (a). 劃分中包含n的情況,只有一個即 { n }; (b). 劃分中不包含n的情況,這時劃分中最大的數字也一定比 n 小,即 n 的所有 ( n - 1 ) 劃分。 因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1); (4) 當 n < m 時,由於劃分中不可能出現負數,因此就相當於 f(n, n); (5) 但 n > m 時,根據劃分中是否包含最大值 m,可以分為兩種情況: (a). 劃分中包含 m 的情況,即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和為 n - m, 可能再次出現 m,因此是(n - m)的 m 劃分,因此這種劃分個數為 f(n-m, m); (b). 劃分中不包含 m 的情況,則劃分中所有值都比 m 小,即 n 的 ( m - 1 ) 劃分,個數為 f(n, m - 1); 因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1); 綜合以上情況,我們可以看出,上面的結論具有遞迴定義特徵,其中(1)和(2)屬於迴歸條件, (3)和(4)屬於特殊情況,將會轉換為情況(5)。而情況(5)為通用情況,屬於遞推的方法, 其本質主要是通過減小m以達到迴歸條件,從而解決問題。其遞推表示式如下: f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 ) f(n, n); ( n < m ) 1+ f(n, m - 1); ( n = m ) f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m ) --------------------------------------------------------------------- (二)動態規劃法 --------------------------------------------------------------------- 因為整數劃分問題滿足最優子結構和子問題重疊特徵,故可以用動態規劃演算法來解。 分別使用了自頂向下的備忘錄演算法和自底向上動態規劃演算法,並且給出了一個優化演算法。 */ #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; const int N = 40; int F[N][N]; //備忘錄,記錄n的m劃分的個數 int Fun_2(int n, int m); //自頂向下的備忘錄演算法解整數劃分問題 int Fun_3(int n, int m); //自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題 int Fun_4(int n, int m); //優化的自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題 int Fun(int n, int m); //遞迴法解整數劃分問題 int main() { int n = 12; for (n=1; n<=20; n++) { for (int i=0; i<=n; i++) { for (int j=0; j<=n; j++) F[i][j] = 0; } cout << Fun(n, n) << " "; cout << Fun_2(n, n) << " "; cout << Fun_3(n, n) << " "; cout << Fun_4(n, n) << endl; } system("pause"); return 0; } int Fun(int n, int m) //遞迴法解整數劃分問題 { if (n == 0 || m == 0) return 0; if (n == 1 || m == 1) return 1; if (n < m) return Fun(n, n); if (n == m) return Fun(n, n-1) + 1; return Fun(n-m, m) + Fun(n, m-1); } int Fun_2(int n, int m) //自頂向下的備忘錄演算法解整數劃分問題 { if (F[n][m] > 0) return F[n][m]; if (n == 0 || m == 0) return 0; if (n == 1 || m == 1) F[n][m] = 1; else if (n < m) F[n][m] = Fun_2(n, n); else if (n == m) F[n][m] = Fun_2(n, n-1) + 1; else F[n][m] = Fun_2(n-m, m) + Fun_2(n, m-1); return F[n][m]; } int Fun_3(int n, int m) //自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題 { for (int i=1; i<=m; i++) F[0][i] = 1; for (int j=1; j<=m; j++)//為實現自底向上,必須要保證j在外層迴圈,然後j<=i<=n在內層迴圈 { for (int i=j; i<=n; i++) { F[i][j] = F[i-j][j] + F[i][j-1]; } } return F[n][m]; } int Fun_4(int n, int m) //優化的自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題 { int cur[N] = {1}; //備忘錄,記錄當前行的結果 //注意到演算法3中累加了F[i][j](1<=j<=m)的值,故可以用一維陣列代替二維陣列 for (int j=1; j<=m; j++) { for (int i=j; i<=n; i++) { cur[i] += cur[i-j]; } } return cur[n]; }