決定寫[WC 2011]XOR一題。

先學了高斯消元法。它和我以前想的解線性方程組的方法很相似。那時在學化學方程式的配平，我發現用待定係數法、根據元素守恆列方程就好了。為了表現自己“徹底”解決了這個問題，我寫了個解線性方程組的程式。發現代入法不好實現，便決定採用加減消元法。又發現消元完畢後，會形成一個三角形（好神奇！），回代很方便。於是有了如下的大致思路：以第1個方程的未知數1為基準，消掉第2～n個方程中的未知數1；以第2個方程的未知數2為基準，消掉第3～n個方程中的未知數2……最後剩下第n個方程，只有一個未知數，而整個方程組形成了一個三角形，把第n個未知數代入第(n-1)個方程解出未知數(n-1)，把第n、(n-1)個未知數代入第(n-2)個方程解出未知數(n-2)……整個過程結束後，方程組就解完了。已經忘記一些細節是怎麼處理的了，比如我不記得我有交換行的步驟，也許壓根就沒處理吧……

但是我並沒懂得XOR和高斯消元法的聯絡——聽說是經典應用？線性基——這是什麼鬼？

經歷了頭痛欲裂的四五天（沒有心情寫作業或者睡覺或者研究其他題，聽課質量低下），我釋然了。是該學習一下線性代數，至少有個感性的認知。找了一套公開課http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html，大概能在本年之內學完。

Lecture 1

2016.5.17

線性方程組可以橫著看（row picture），可以豎著看（column picture）。橫著看是我們熟知的解析幾何，豎著看是向量的線性組合（linear combination）。

例子：

2x−

y=0−x+2y=3
它們可以是平面上兩條直線 2x-y = 0、-x+2y = 3，也可以是向量的線性組合：
x[2−1]+y[−12]=[03]
解Ax = b是線性代數裡的重要問題。Ax是A的列向量的線性組合。

Lecture 2

2016.5.19

高斯消元。初等形式已經會了，有趣的是可以用矩陣來表示。我還沒有明白矩陣是什麼，暫且理解為一些排列成矩形、用方括號括起來的數，它們可以看成一些行向量排成一行行，也可以看成一些列向量排成一列列。

以

x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2
為例。

它的係數矩陣是

⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥

Step 1 以(1, 1)為主元，行2-3x行1：

⎡⎣⎢1−30010001⎤⎦⎥×⎡⎣⎢130284111⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥

怎樣一眼看出用什麼去乘係數矩陣？將矩陣乘法看作對行的線性組合。Lecture 1中提及的是對列的線性組合。

例如：

[127]×⎡⎣⎢112131122232⎤⎦⎥=1[1112]+2[2122]+7[3132]

矩陣x矩陣，把第一個矩陣看成一個個行向量，所得的結果作為乘積對應位置的一行行即可。

所以，先前的用於消元的矩陣的含義為：第一行保持不變，用-3倍的第一行、1倍的第二行、0倍的第三行疊加（組合）得到新的第二行，第三行保持不變。

我想我明白單位矩陣為什麼要那麼定義了……

Step 2以(2, 2)為主元，行3-2x行2：

⎡⎣⎢10001−2001⎤⎦⎥×⎡⎣⎢1002241−21⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1002201−25⎤⎦⎥

本例不涉及行的交換。原來排列矩陣有這個用途！

[0110]×[acbd]

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