Miller-Rabin演算法與Pollard's Rho演算法總結
Miller-Rabin素數測試
費馬小定理:
當是素數時,對於,滿足
但是其逆命題是假命題,也就是說對於,我們測試所有的,就算全部,也不一定是素數(可能是偽素數),但出錯的概率很小。於是可以選擇若干個來測試,再加上下文中的二次探測,正確率就十分接近100%了。
二次探測:
首先有一個顯然的性質:。
我們設,序列;
那麼,而且要麼全部,要麼存在且。
滿足上述條件才可能是素數。
總結一下,Miller-Rabin測試就是選擇若干個用來測試的(一般選擇前個素數即可),進行二次探測,如果全部通過就可以認定其為素數了。
Pollard’s Rho大數質因數分解
假設要質因數分解,我們使用一個偽隨機數。先設兩個變數,讓迭代並檢測是否,迭代次之後把賦為並把乘(倍長迭代),直到找到了一個因子,或者(進入迴圈)則重新換一個尋找。
該演算法期望在迭代次找到的一個因子,考慮到的質因子中的最多隻有一個,所以複雜度大概是的。
板子題:BZOJ3667
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define F(x) (mul(x,x,n)+c)%n
using namespace std;
const ll pri[]={2,3,7,61,10007,24251};
ll mx;
ll rd(ll x)
{
return (((((((ll)rand()<<15)+rand())<<15)+rand())<<15)+rand())%x;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{
if(!y) return x;
return gcd(y,x%y);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
a=(a>=mod?a%mod:a);
b=(b>=mod?b%mod:b);
ll tmp=(a*b-(ll)((long double)a/mod*b+1e-2)*mod);
return tmp<0?tmp+mod:tmp;
}
ll ksm(ll a,ll b,ll mod)
{
ll re=1;
for(a%=mod;b;b>>=1,a=mul(a,a,mod))
if(b&1) re=mul(re,a,mod);
return re;
}
ll check(ll a,ll n,ll r,ll s)
{
ll t=ksm(a,r,n),u=t;
while(s--)
{
t=mul(t,t,n);
if(t==1&&u!=1&&u!=n-1)
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/* C++ program to find a prime factor of composite using
Pollard's Rho algorithm */
#include<bits/stdc++.h>
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2018.12.19【BZOJ3667】【洛谷P4718】Rabin-Miller演算法(Miller-Rabin)(Pollard-Rho)
DarkBZOJ傳送門
洛谷傳送門
解析:
M
i
l
Pollard's Rho演算法總結
先貼一份程式碼在這。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype&
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#include<stdio.h>
#define OK 0
#define ERROR -1
#define FAILED 1
in
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