Description

為什麼又是複習小記？因為又忘了個精光QAQ

Pollard’s Rho

分治思想

我們實現過程find(n)表示對n進行質因數分解。
如果能找到任意一個d|n,d≠1,d≠n，那麼就可以轉化成兩個子問題find(d)與find(n/d)。當然如果n本身就是質數那麼肯定是找不到的，所以先用miller rabin質數測試判定一次

隨機演算法的改進

如果每次隨機x並判定(x,n)是否等於1，效率太低

基於生日悖論的概率原理

從1到n中選k個數，其中至少一對數之差為n的因數的概率隨著k增大而迅速增大。
這啟示我們判定(abs(x−y),n)是否為1

步驟

1. 定義函式f(x)=x2+c，c隨機給出
2. 注意到因為是模n意義下，所以x的取值會成環，類似ρ
3. x每次走一步，y每到2j的時間點走一次（最玄學的部分）
4. 每次判定(abs(x−y),n)是否為1
5. 若x=y則退出，重新隨機c

板子

ll pollard_rho(ll n,ll c)
{
    int i=1,k=2;
    ll x=rand()%n;ll y=x;
    for(;;)
    {
        i++;
        x=(qmul(x,x,n)+c)%n;
        ll d=gcd(abs(x-y),n);
        if
 
(d!=1 && d!=n) return d;
        if(y==x) return n;
        if(i==k) y=x,k<<=1;
    }
}
void find(ll n)
{
    if(n==1) return;
    if(miller_rabin(n))
    {
        a[++num]=n;
        return;
    }
    ll d=n;
    while(d>=n) d=pollard_rho(n,rand()%(n-1)+1);
    find(d);
    while(n%d
 
==0) n/=d;
    find(n);
}