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圖的概念

圖論中的圖是由若干給定的點及連線兩點的線所構成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關係，用點代表事物，用連線兩點的線表示相應兩個事物間具有這種關係。
一個圖可以用數學語言描述為G(V(G),E(G))。V(vertex)指的是圖的頂點集，E(edge)指的是圖的邊集。一個圖可以使用頂點集和邊集來描述。

圖的分類

圖分為有向圖和無向圖，有向圖中的邊有起點端和終點端，而無向圖沒有指向，節點之間只有連線關係。

圖的矩陣表示

圖的矩陣描述常用的是鄰接矩陣法。
在無向圖中，鄰接矩陣 Ｃ 中的某個元素 c_ij 有兩個取值 0 和 1，當 i

節點和 j 節點相鄰連通時取 1，否則取 0。上面的無向圖的鄰接矩陣可以寫成如下的形式，可以發現無向圖的鄰接矩陣是一個對稱矩陣。

C=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0111010101110101010101010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$C=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
在有向圖中，鄰接矩陣 Ｃ 中的某個元素 c_ij 也有兩個取值 0 和 1，當以 i 節點為起點存在指向 j 節點的有向邊時取1，否則取 0。上面的有向圖的鄰接矩陣可以寫成如下的形式，可以發現有向圖的鄰接矩陣一般不是一個對稱矩陣。
C=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0000010000110001010001010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$C=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
若把鄰接矩陣中的元素1用節點間的距離代替，這時就稱這個圖為加權圖，對應的鄰接矩陣為加權鄰接矩陣。加權圖可以用來計算兩個節點之間的最短路等問題。

最短路問題和Dijkstra演算法

圖中具有最大長度的路稱為最長路，包含每個頂點的路稱為Hamilton路，兩點間距離最短的路稱為最短路。
其中，最短路可以使用Dijkstra演算法計算。該演算法的原理較為直觀，相關資料也可以查到，故不再贅述。
在Matlab中有可以計算最短路的函式，先用digraph生成加權圖，再用shortestpath計算最短路。
以下Matlab程式碼可以計算上面有向圖中節點 1 到 5 的最短路，path是最短路的路徑，distance是最短距離。

a = [1,1,1,2,2,3,4];                    % 起點節點
b = [2,3,4,3,5,4,5];                    % 終點節點
 

c = [3,2,2,1,3,4,3];                    % 對應權值
g = digraph(a,b,c);                     % 建立圖
[path,distance] = shortestpath(g,1,5);  % 計算最短路

另外，可以通過plot(g)繪製圖g。