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貝塔、伽馬分佈

阿新 • • 發佈：2019-01-02

最近開始自學PRML，為此又補了概率論中的一些知識點。
相較於古典概率通過各種估計手段來確定引數的分佈，貝葉斯學派則是使用後驗概率來確定，為了方便計算後驗概率，引入共軛先驗分佈來方便計算，這是後話了。
那麼一些常見的共軛後驗分佈有哪些呢？這就引出了這裡的主題。有諸如貝塔分佈、伽馬分佈和倒伽馬分佈等。(先打個坑，後面再補充)

簡介

貝塔分佈

下面就是X∼Beta(α,β)的概率密度函式

f(x)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1
  • E(X)=αα+β
  • Var(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)

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這個式子並不是從天而降，這是有由來的。
最先想構造的概率分佈函式是，

f(x)=wxα−1(1−x)β−1
其中，w是一個常數，為了滿足概率分佈函式的兩個條件
  • x∈[0,1]
  • ∫10f(x)dx=1

因此

f(x)=xα−1(1−x)β−1∫10xα−1(1−x)β−1dx=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1=1B(α,β)xα−1(1−x)β−1

貝塔函式

B(α,β)=∫10xα−1(1−x)β−1dx

伽馬函式

其中Γ(x)就是伽馬函式，此處傳送門詳解伽馬函式歷史由來

Γ(θ)=∫∞0xθ−1e−xdx

其中伽馬函式有一些性質需要注意

  • Γ(x+1)=xΓ(x)

  • 對於整數n來說

    Γ(n)=(n−1)!

  • 對於x∈(0,1

    ),

    Γ(1−x)Γ(x)=πsin(πx)
  • Γ(12)=π√

伽馬分佈

X∼Γ(k,θ)的概率密度函式如下

f(x)=xk−1e−x/θθkΓ(k),(k>0,θ>0)