Gauss 雙伽馬定理

\begin{equation}\label{1} \psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\cot{\frac{\pi p}{q}}-\ln{q}+\sum_{n=1}^{q-1} \cos\frac{2\pi n p}{q}\ln\left(2\sin\frac{\pi n}{q}\right). \end{equation}

證明 由 $\Gamma$ 函數的 Weierstrass 乘積公式 \begin{equation}\label{2} \Gamma(s)=\frac{\mathrm{e}^{-\gamma s}}{s}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{s}{n}\right)^{-1}\mathrm{e}^{s/n}, \end{equation} 其中 $\gamma$ 是 Euler 常數. 將 \eqref{2} 取對數, 得 \begin{equation}\label{3} \ln\Gamma(s)=-\gamma s-\ln s+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\ln\left(1+\frac{s}{n}\right)+\frac{s}{n}\right) \end{equation} 對 $s$ 求導, 得 \begin{equation}\label{4} \psi(s)=-\gamma-\frac{1}{s}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1/n}{1+\frac{s}{n}} +\frac{1}{n}\right)=-\gamma-\frac{1}{s} +\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{s+n}\right) \end{equation} 令 $s=\frac{p}{q},(0<p<q,p,q\in\mathbb{N})$, 利用 Abel 極限定理有 \begin{equation}\label{5} \psi\left(\frac{p}{q}\right)+\gamma=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1} -\frac{q}{p+nq}\right)=\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{q}{p+nq}\right)t^{p+nq} \end{equation} 進一步 \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{q}{p+nq}\right)t^{p+nq}& = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{p+nq}}{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{qt^{p+nq}}{p+nq} \\ & = t^{p-q}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{(n+1)q}}{n+1}-q\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{p+nq}}{p+nq} \\ & = -t^{p-q}\ln(1-t^q)+\sum_{n=0}^{q-1}\omega^{-np}\ln(1-\omega^{n}t) \\ & = -t^{p-q}\ln\frac{1-t^q}{1-t}-(t^{p-q}-1)\ln(1-t) +\sum_{n=1}^{q-1}\omega^{-np}\ln(1-\omega^{n}t) \end{align*} 其中 $\omega=\mathrm{e}^{2\pi i/q}$, 令 $t\to 1^{-}$ 得 \begin{equation}\label{6} \psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\ln q +\sum_{n=1}^{q-1}\omega^{-nq}\ln(1-\omega^n) \end{equation} 這樣我們易得, \begin{equation}\label{7} \psi\left(\frac{p}{q}\right)+\psi\left(\frac{q-p}{q}\right)=-2\gamma-2\ln q+2\sum_{n=1}^{q-1}\cos\left(\frac{2\pi np}{q}\right)\ln(1-\omega^n) \end{equation} 上式左端為實數, 右端需取實部, 且 \begin{align*}\label{8} \Re(\ln(1-\omega^n))& =\ln|1-\omega^n| \\ & =\ln\left|\left(1-\cos \frac{2\pi n}{q}\right)^2 +\sin^2\frac{2\pi n}{q}\right|^{1/2} \\ & =\frac{1}{2}\ln\left(2-2\cos \frac{2\pi n}{q}\right) \\ & =\ln\left(2\sin\frac{\pi n}{q}\right) \end{align*} 由 Euler 反射公式 \begin{equation}\label{9} \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin s} \end{equation} 對 $s$ 取對數微分, 即得 \begin{equation}\label{10} \psi(s)-\psi(1-s)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\ln(\Gamma(s)\Gamma(1-s))=-\pi\cot s \end{equation} 這樣 \begin{equation}\label{11} \psi\left(\frac{p}{q}\right)-\psi\left(\frac{q-p}{q}\right)=-\pi\cot\frac{\pi p}{q} \end{equation} 將 \eqref{7} 和 \eqref{11} 兩式相加即證 Gauss 雙伽馬定理.

References

[1] Henri Cohen. Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools[M]. New York: Springer, 2007.

[2] G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy. Special Functions[M]. Cambridge University Press, 2001.

Gauss 雙伽馬定理的證明