Logistic Regression with a Neural Network mindset

用神經網路的思想來實現Logistic迴歸

學習目標

• 構建深度學習演算法的基本結構，包括：
•       初始化引數
•       計算損失函式和它的梯度
•       使用優化演算法（梯度下降法）
• 將上述三種函式按照正確的順序集中在一個主函式中

1. 依賴包

*numpy——python中用於科學計算的庫，多用於計算矩陣

*h5py——在Python提供讀取HDF5二進位制資料格式檔案的介面，本次的訓練及測試圖片集是以HDF5儲存的

*matplotlib——Python中著名的繪相簿

*PIL——Python Image Library，為Python提供影象處理功能

*scipy——基於NumPy來做高等數學、訊號處理、優化、統計和許多其它科學任務的拓展庫

為了使用上述依賴包（庫），使用如下程式碼匯入：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import h5py
import scipy
from PIL import Image
from scipy import ndimage
from lr_utils import load_dataset
 

注意：在Ipython編譯器中可以使用%matplotlib inline，而其它編譯器中使用該魔發指令會編譯報錯，需要自己新增plt.show()函式才能顯示圖片，這在接下來的資料集視覺化中用得到。

2. 總覽問題集

問題陳述：給定一個數據集（“data.h5”），其中包含：

• 包含m個已標註資料的訓練集，其中若是貓（y=1），不是貓（y=0）
• 包含m個已標註資料集的測試集，同樣分為貓或者非貓
• 每一幅圖的shape為（num_px,num_px,3），其中3代表3通道（RGB）。因此，每一幅圖都是正方形的，及長寬相等

使用如下程式碼讀取（載入）資料：

# Loading the data (cat/non-cat)
train_set_x_orig, train_set_y, test_set_x_orig, test_set_y, classes = load_dataset()
 

這裡再訓練集和測試集的樣本後面加_orig，是因為隨後還要對這些資料reshape進行處理，此時它們還是擁有二維結構的矩陣。

可以通過下列程式碼將資料集中的資料實現視覺化：

# Example of a picture
index = 24
plt.imshow(train_set_x_orig[index])
print ("y = " + str(train_set_y[:, index]) + ", it's a '" + classes[np.squeeze(train_set_y[:, index])].decode("utf-8") +  "' picture.")

通過改變index = 後面的數字值，可以檢視資料集中不同的圖片。

執行結果：

注意：保證資料集中每一個數據的尺寸的統一，將對減少程式中的bug幫助很大。

小練習：

• 認識到m_train中的樣本個數
• 認識到m_test中的樣本個數
• 認識到num_px的數值，即瞭解影象的大小（是多少畫素*多少畫素）

這裡老師提示說，我們先前提到的未處理的資料集，即帶有orig的資料集，它的尺寸為（m_train,num_px,num_px,3）。我的個人理解就是（訓練集的個數，影象高的畫素值，影象寬的畫素值，3通道）。

使用如下程式碼，來實現小練習中的任務要求：

### START CODE HERE ### (≈ 3 lines of code)
m_train = train_set_x_orig.shape[0]
m_test = test_set_x_orig.shape[0]
num_px = train_set_x_orig.shape[1]
### END CODE HERE ###

print ("Number of training examples: m_train = " + str(m_train))
print ("Number of testing examples: m_test = " + str(m_test))
print ("Height/Width of each image: num_px = " + str(num_px))
print ("Each image is of size: (" + str(num_px) + ", " + str(num_px) + ", 3)")
print ("train_set_x shape: " + str(train_set_x_orig.shape))
print ("train_set_y shape: " + str(train_set_y.shape))
print ("test_set_x shape: " + str(test_set_x_orig.shape))
print ("test_set_y shape: " + str(test_set_y.shape))

而shape[0]中的0，我的個人理解就是0訪問的是shape的引數中第一個的數，1為第二位……以此類推

因此執行結果：

Number of training examples: m_train = 209
Number of testing examples: m_test = 50
Height/Width of each image: num_px = 64
Each image is of size: (64, 64, 3)
train_set_x shape: (209, 64, 64, 3)
train_set_y shape: (1, 209)
test_set_x shape: (50, 64, 64, 3)
test_set_y shape: (1, 50)

也就是說，資料集中，訓練集有209副圖，測試集有50幅圖，每一幅圖是64*64的大小（上面視覺化的執行結果就可以看出來）。

還記得老師上課說過，我們要將3個疊加在一起的矩陣展開，變成一個一維陣列，那麼對於其中的一幅圖，它將由（64,64,3）的結構展開成（64*64*3,1）的結構。而我們擁有m（209）個訓練樣本，那麼所有的輸入將會變為一個12288行，m（209）列的矩陣。而為了實現上述操作，我們使用reshape操作。

小練習：將形狀為（num_px,num_px,3）的訓練集和資料集展為一維的（num_px*num_px*3,1）的向量。

小竅門：當欲將一個形如（a,b,c,d）的矩陣X展平為一個形如（b*c*d,a）的矩陣，可以使用

X_flatten = X.reshape(X.shape[0], -1).T      # X.T is the transpose of X

使用如下程式碼，進行reshape操作：

# Reshape the training and test examples

### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
train_set_x_flatten = train_set_x_orig.reshape(train_set_x_orig.shape[0], -1).T
test_set_x_flatten = test_set_x_orig.reshape(test_set_x_orig.shape[0], -1).T
### END CODE HERE ###

print ("train_set_x_flatten shape: " + str(train_set_x_flatten.shape))
print ("train_set_y shape: " + str(train_set_y.shape))
print ("test_set_x_flatten shape: " + str(test_set_x_flatten.shape))
print ("test_set_y shape: " + str(test_set_y.shape))
print ("sanity check after reshaping: " + str(train_set_x_flatten[0:5,0]))

這裡解釋一下train_set_x_flatten = train_set_x_orig.reshape(train_set_x_orig.shape[0], -1).T這句中的-1引數，-1代表的是行數（因為後面有轉置）由系統自己決定，大意就是反正我丟給你這麼一個矩陣，我需要209列，多少行你自己看著辦吧！系統一看，明白了大哥，知道了大哥，小的這就去辦，變成了64*64*3的行數。

輸出結果：

train_set_x_flatten shape: (12288, 209)
train_set_y shape: (1, 209)
test_set_x_flatten shape: (12288, 50)
test_set_y shape: (1, 50)
sanity check after reshaping: [17 31 56 22 33]

最後一行是輸出了train_set_x_flatten中前5個數的值，用於檢查。

老師這裡說需要牢記的是：

一般預處理一個數據集的步驟如下：

• 計算出資料集的維度和形狀（如訓練集的個數、測試集的個數、圖片的大小等等）
• 像例子中那樣reshape資料集，將其變為一個向量（num_px*numpx*3,1）
• 標準化資料

為何要標準化我這裡產生了疑問，這裡引用博主index20001的內容：

    資料的標準化（normalization）是將資料按比例縮放，使之落入一個小的特定區間。在一些資料比較和評價中常用到。典型的有歸一化法，還有比如極值法、標準差法。

    歸一化方法的主要有兩種形式：一種是把數變為（0，1）之間的小數，一種是把有量綱表示式變為無量綱表示式。在數字訊號處理中是簡化計算的有效方式。

而在本例中，我們處理的資料集是影象，每一個值都是畫素值，介於0~255之間，那麼對於這樣的資料進行標準化很簡單，只需要進行：

train_set_x = train_set_x_flatten/255.
test_set_x = test_set_x_flatten/255.

因為0/255=0， 255/255=1，輕鬆地將資料變為了（0,1）的量。

3. 學習演算法的一般結構

說了這麼多，終於到構建演算法來區分貓圖的時候了。

我們使用神經網路的思想來實現logistic迴歸，正如上圖所示，是一種十分簡單的神經網路。

從數學角度來解釋演算法：

對於單一的一幅圖

回顧以前學習的內容，成本函式為：

關鍵步驟：在這個練習中執行以下步驟：

• 初始化模型引數
• 通過最小化成本來習得引數
• 通過習得的引數來進行預測（在測試集上）
• 分析結果得出結論

4. 分部實現演算法

建立神經網路的主要步驟如下：

1. 定義模型結構（例如輸入的特徵數）

2.初始化模型引數

3.迴圈：

•         計算當前損失（前向傳播）
•         計算當前梯度（反向傳播）
•         更新引數（梯度下降）

通常將1~3步單獨建立，然後最後整合在一個叫做model（）的函式中。

4.1 輔助函式

小練習：建立sigmoid（）函式。sigmoid函式定義為：，使用np.exp()來構建sigmoid函式。

函式程式碼如下：

# GRADED FUNCTION: sigmoid

def sigmoid(z):
    """
    Compute the sigmoid of z

    Arguments:
    z -- A scalar or numpy array of any size.

    Return:
    s -- sigmoid(z)
    """

    ### START CODE HERE ### (≈ 1 line of code)
    s = 1 / (1 + np.exp(-z))
    ### END CODE HERE ###
    
    return s

做個小測試：

print ("sigmoid([0, 2]) = " + str(sigmoid(np.array([0,2]))))

輸出結果

sigmoid([0, 2]) = [0.5        0.88079708]

4.2 初始化引數

小練習：使用np.zeros（）函式初始化引數，將w初始化為0向量。

程式碼如下：

# GRADED FUNCTION: initialize_with_zeros

def initialize_with_zeros(dim):
    """
    This function creates a vector of zeros of shape (dim, 1) for w and initializes b to 0.
    
    Argument:
    dim -- size of the w vector we want (or number of parameters in this case)
    
    Returns:
    w -- initialized vector of shape (dim, 1)
    b -- initialized scalar (corresponds to the bias)
    """
    
    ### START CODE HERE ### (≈ 1 line of code)
    w = np.zeros((dim, 1))
    b = 0
    ### END CODE HERE ###

    assert(w.shape == (dim, 1))
    assert(isinstance(b, float) or isinstance(b, int))
    
    return w, b

其中w=np.zeros((dim,1))中dim的理解就是說還是待定，它可以隨著我們輸入的向量X隨時變化。

關於np.zeros（）函式的詳細說明可以參考雲金杞博主的文章。

比如我們設定維度dim=2,輸出一個示例：

dim = 2
w, b = initialize_with_zeros(dim)
print ("w = " + str(w))
print ("b = " + str(b))

輸出結果：

w = [[0.]
 [0.]]
b = 0

那麼對於我們這個例子中，dim的取值就是num_px*num_px*3=12288維。

4.3 前向和反向傳播

初始化了向量之後，就可以進行前向傳播和反向傳播步驟了。

小練習：定義函式propagate()來計算成本函式和它的梯度。

提示：

前向傳播：

現在有了輸入X

計算A，

計算成本函式：

這裡需要用到兩個公式：

程式碼如下：

# GRADED FUNCTION: propagate
def propagate(w, b, X, Y):
    """
    Implement the cost function and its gradient for the propagation explained above

    Arguments:
    w -- weights, a numpy array of size (num_px * num_px * 3, 1)
    b -- bias, a scalar
    X -- data of size (num_px * num_px * 3, number of examples)
    Y -- true "label" vector (containing 0 if non-cat, 1 if cat) of size (1, number of examples)

    Return:
    cost -- negative log-likelihood cost for logistic regression
    dw -- gradient of the loss with respect to w, thus same shape as w
    db -- gradient of the loss with respect to b, thus same shape as b
    
    Tips:
    - Write your code step by step for the propagation. np.log(), np.dot()
    """
    
    m = X.shape[1]
    
    # FORWARD PROPAGATION (FROM X TO COST)
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    A = sigmoid(np.dot(w.T, X) + b)            # compute activation
    cost = -1 / m * np.sum(Y * np.log(A) + (1 - Y) * np.log(1 - A))         # compute cost
    ### END CODE HERE ###
    
    # BACKWARD PROPAGATION (TO FIND GRAD)
    ### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
    dw = 1 / m * np.dot(X, (A - Y).T)
    db = 1 / m * np.sum(A - Y)
    ### END CODE HERE ###
    assert(dw.shape == w.shape)
    assert(db.dtype == float)
    cost = np.squeeze(cost)
    assert(cost.shape == ())
    
    grads = {"dw": dw,
             "db": db}
    
    return grads, cost

測試輸出結果：

定義w,b,X,Y如下：

w, b, X, Y = np.array([[1],[2]]), 2, np.array([[1,2],[3,4]]), np.array([[1,0]])

計算dw、db和cost

grads, cost = propagate(w, b, X, Y)
print ("dw = " + str(grads["dw"]))
print ("db = " + str(grads["db"]))
print ("cost = " + str(cost))

輸出結果如下：

dw = [[0.99993216]
 [1.99980262]]
db = 0.49993523062470574
cost = 6.000064773192205

最優化

• 目前已經初始化了引數
• 目前可以計算成本函式和它的梯度
• 現在，需要使用梯度下降方法來更新引數

小練習：定義優化函式，目標是通過習得w和b的值來最小化成本函式J。用θ舉例的話：θ=θ-αdθ，其中α是學習率。

程式碼如下：

# GRADED FUNCTION: optimize

def optimize(w, b, X, Y, num_iterations, learning_rate, print_cost = False):
    """
    This function optimizes w and b by running a gradient descent algorithm
    
    Arguments:
    w -- weights, a numpy array of size (num_px * num_px * 3, 1)
    b -- bias, a scalar
    X -- data of shape (num_px * num_px * 3, number of examples)
    Y -- true "label" vector (containing 0 if non-cat, 1 if cat), of shape (1, number of examples)
    num_iterations -- number of iterations of the optimization loop
    learning_rate -- learning rate of the gradient descent update rule
    print_cost -- True to print the loss every 100 steps
    
    Returns:
    params -- dictionary containing the weights w and bias b
    grads -- dictionary containing the gradients of the weights and bias with respect to the cost function
    costs -- list of all the costs computed during the optimization, this will be used to plot the learning curve.
    
    Tips:
    You basically need to write down two steps and iterate through them:
        1) Calculate the cost and the gradient for the current parameters. Use propagate().
        2) Update the parameters using gradient descent rule for w and b.
    """
    
    costs = []
    
    for i in range(num_iterations):
        
        
        # Cost and gradient calculation (≈ 1-4 lines of code)
        ### START CODE HERE ### 
        grads, cost = propagate(w, b, X, Y)
        ### END CODE HERE ###
        
        # Retrieve derivatives from grads
        dw = grads["dw"]
        db = grads["db"]
        
        # update rule (≈ 2 lines of code)
        ### START CODE HERE ###
        w = w - learning_rate * dw
        b = b - learning_rate * db
        ### END CODE HERE ###
        
        # Record the costs
        if i % 100 == 0:
            costs.append(cost)
        
        # Print the cost every 100 training examples
        if print_cost and i % 100 == 0:
            print ("Cost after iteration %i: %f" %(i, cost))
    
    params = {"w": w,
              "b": b}
    
    grads = {"dw": dw,
             "db": db}
    
    return params, grads, costs

測試輸出：

params, grads, costs = optimize(w, b, X, Y, num_iterations= 100, learning_rate = 0.009, print_cost = False)

print ("w = " + str(params["w"]))
print ("b = " + str(params["b"]))
print ("dw = " + str(grads["dw"]))
print ("db = " + str(grads["db"]))
print("costs="+str(costs))

結果如下

w = [[0.1124579 ]
 [0.23106775]]
b = 1.5593049248448891
dw = [[0.90158428]
 [1.76250842]]
db = 0.4304620716786828
costs=[6.000064773192205]

小練習：通過上述函式我們計算出了習得的w和b的值，我們通過習得的w和b的值來預測資料集X的標籤。通過定義predict()函式，用如下兩步計算預測值：

1.計算yhat，

2.將預測結果轉化為0（如果啟用值<=0.5）或者1（啟用值>=0.5），將預測結果儲存在向量y_prediction中。如果你想的話，可以在for迴圈中使用if/else語句。

程式碼如下：

# GRADED FUNCTION: predict

def predict(w, b, X):
    '''
    Predict whether the label is 0 or 1 using learned logistic regression parameters (w, b)
    
    Arguments:
    w -- weights, a numpy array of size (num_px * num_px * 3, 1)
    b -- bias, a scalar
    X -- data of size (num_px * num_px * 3, number of examples)
    
    Returns:
    Y_prediction -- a numpy array (vector) containing all predictions (0/1) for the examples in X
    '''
    
    m = X.shape[1]
    Y_prediction = np.zeros((1,m))
    w = w.reshape(X.shape[0], 1)
    
    # Compute vector "A" predicting the probabilities of a cat being present in the picture
    ### START CODE HERE ### (≈ 1 line of code)
    A = sigmoid(np.dot(w.T, X) + b)
    ### END CODE HERE ###

    for i in range(A.shape[1]):
        
        # Convert probabilities A[0,i] to actual predictions p[0,i]
        ### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
        if A[0, i] <= 0.5:
            Y_prediction[0, i] = 0
        else:
            Y_prediction[0, i] = 1
        ### END CODE HERE ###
    
    assert(Y_prediction.shape == (1, m))
    
    return Y_prediction

需要記住的是：我們已經定義了多個函式：

• 初始化函式，initialize(w,b)
• 通過反覆迭最優化parameters(w,b):
•       計算成本和和它的梯度
•       通過梯度下降法更新引數
• 使用習得的（w，b）來預測給定樣本的標籤。

5. 將所有函式整合在model中

現在要將之前分別定義的每一個函式按照正確順序整合在model中。

小練習：按照如下的提示構建model（）函式：

• Y_prediction用來表示測試集上的預測值
• Y_prediction_train用來表示訓練集上的預測值
• w,costs,grads用來作為optimize（）的輸出

程式碼如下：

# GRADED FUNCTION: model

def model(X_train, Y_train, X_test, Y_test, num_iterations = 2000, learning_rate = 0.5, print_cost = False):
    """
    Builds the logistic regression model by calling the function you've implemented previously
    
    Arguments:
    X_train -- training set represented by a numpy array of shape (num_px * num_px * 3, m_train)
    Y_train -- training labels represented by a numpy array (vector) of shape (1, m_train)
    X_test -- test set represented by a numpy array of shape (num_px * num_px * 3, m_test)
    Y_test -- test labels represented by a numpy array (vector) of shape (1, m_test)
    num_iterations -- hyperparameter representing the number of iterations to optimize the parameters
    learning_rate -- hyperparameter representing the learning rate used in the update rule of optimize()
    print_cost -- Set to true to print the cost every 100 iterations
    
    Returns:
    d -- dictionary containing information about the model.
    """
    
    ### START CODE HERE ###
    
    # initialize parameters with zeros (≈ 1 line of code)
    w, b = initialize_with_zeros(X_train.shape[0])

    # Gradient descent (≈ 1 line of code)
    parameters, grads, costs = optimize(w, b, X_train, Y_train, num_iterations, learning_rate, print_cost)
    
    # Retrieve parameters w and b from dictionary "parameters"
    w = parameters["w"]
    b = parameters["b"]
    
    # Predict test/train set examples (≈ 2 lines of code)
    Y_prediction_test = predict(w, b, X_test)
    Y_prediction_train = predict(w, b, X_train)

    ### END CODE HERE ###

    # Print train/test Errors
    print("train accuracy: {} %".format(100 - np.mean(np.abs(Y_prediction_train - Y_train)) * 100))
    print("test accuracy: {} %".format(100 - np.mean(np.abs(Y_prediction_test - Y_test)) * 100))

    
    d = {"costs": costs,
         "Y_prediction_test": Y_prediction_test, 
         "Y_prediction_train" : Y_prediction_train, 
         "w" : w, 
         "b" : b,
         "learning_rate" : learning_rate,
         "num_iterations": num_iterations}
    
    return d

輸出測試：

d = model(train_set_x, train_set_y, test_set_x, test_set_y, num_iterations = 2000, learning_rate = 0.005, print_cost = True)

輸出結果：

Cost after iteration 0: 0.693147
Cost after iteration 100: 0.584508
Cost after iteration 200: 0.466949
Cost after iteration 300: 0.376007
Cost after iteration 400: 0.331463
Cost after iteration 500: 0.303273
Cost after iteration 600: 0.279880
Cost after iteration 700: 0.260042
Cost after iteration 800: 0.242941
Cost after iteration 900: 0.228004
Cost after iteration 1000: 0.214820
Cost after iteration 1100: 0.203078
Cost after iteration 1200: 0.192544
Cost after iteration 1300: 0.183033
Cost after iteration 1400: 0.174399
Cost after iteration 1500: 0.166521
Cost after iteration 1600: 0.159305
Cost after iteration 1700: 0.152667
Cost after iteration 1800: 0.146542
Cost after iteration 1900: 0.140872
train accuracy: 99.04306220095694 %
test accuracy: 70.0 %

註解：訓練的準確率接近100%。這證明我們定義的模型起作用了，並且對於訓練集的適應性很高。測試準確率68%，對於一個簡單的模型來說這個結果並不差，給定一個小的資料集通過logistic做線性分類，已經不錯了。

當前還存在針對訓練集過擬合的問題，待會可以通過正則化來減少過擬合。

使用如下程式碼來測試當前模型對圖片的分類能力：

# Example of a picture that was wrongly classified.
index = 1
plt.imshow(test_set_x[:,index].reshape((num_px, num_px, 3)))
print ("y = " + str(test_set_y[0,index]) + ", you predicted that it is a \"" + classes[int(d["Y_prediction_test"][0,index])].decode("utf-8") +  "\" picture.")

這裡說一下，因為準確率只有68%左右，因此測試結果很容易出錯。

y = 1, you predicted that it is a "cat" picture.

y = 0, you predicted that it is a "non-cat" picture.

通過下面的程式碼來顯示成本的值和梯度：

# Plot learning curve (with costs)
costs = np.squeeze(d['costs'])
plt.plot(costs)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (per hundreds)')
plt.title("Learning rate =" + str(d["learning_rate"]))
plt.show()

註解：圖中可以看到成本值不斷下降，這表明引數已經習得。

在這裡說一下過擬合，當我們增加迭代次數，我們會發現在訓練集上的準確率提高了，但是測試集上準確率反而下降。

迭代2000次：

點錯迭代了70000次之後……發現

Cost after iteration 69700: 0.004497
Cost after iteration 69800: 0.004490
Cost after iteration 69900: 0.004484
train accuracy: 100.0 %
test accuracy: 72.0 %

這……

6. 進一步分析（選修練習）

選擇學習率

提醒：為了讓梯度下降可以有效地進行，必須選擇合適的學習率。學習率α代表我們更新引數的快速程度。學習率太大我們可能會錯過最優解，同樣的，太小的話我們需要迭代很多次才能找到最優解。這就是使用合適的學習率的重要性。

讓我們比對選擇不同學習率時我們設立模型的學習曲線。

程式碼如下：

learning_rates = [0.01, 0.001, 0.0001]
models = {}
for i in learning_rates:
    print ("learning rate is: " + str(i))
    models[str(i)] = model(train_set_x, train_set_y, test_set_x, test_set_y, num_iterations = 1500, learning_rate = i, print_cost = False)
    print ('\n' + "-------------------------------------------------------" + '\n')

for i in learning_rates:
    plt.plot(np.squeeze(models[str(i)]["costs"]), label= str(models[str(i)]["learning_rate"]))

plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations')

legend = plt.legend(loc='upper center', shadow=True)
frame = legend.get_frame()
frame.set_facecolor('0.90')
plt.show()

執行結果如下：

learning rate is: 0.01
train accuracy: 99.52153110047847 %
test accuracy: 68.0 %

-------------------------------------------------------

learning rate is: 0.001
train accuracy: 88.99521531100478 %
test accuracy: 64.0 %

-------------------------------------------------------

learning rate is: 0.0001
train accuracy: 68.42105263157895 %
test accuracy: 36.0 %

-------------------------------------------------------

、

7 用自己的圖片做測試（選修練習）

將自己的圖片放好後，修改下列程式碼中圖片的名稱後執行程式碼來預測：

## START CODE HERE ## (PUT YOUR IMAGE NAME) 
my_image = "cat_in_iran.jpg"   # change this to the name of your image file 
## END CODE HERE ##

# We preprocess the image to fit your algorithm.
fname = "images/" + my_image
image = np.array(ndimage.imread(fname, flatten=False))
my_image = scipy.misc.imresize(image, size=(num_px,num_px)).reshape((1, num_px*num_px*3)).T
my_predicted_image = predict(d["w"], d["b"], my_image)

plt.imshow(image)
print("y = " + str(np.squeeze(my_predicted_image)) + ", your algorithm predicts a \"" + classes[int(np.squeeze(my_predicted_image)),].decode("utf-8") +  "\" picture.")

執行結果：

y = 1.0, your algorithm predicts a "cat" picture.

y = 0.0, your algorithm predicts a "non-cat" picture.

效果還不錯，:-p

總結

1. 預處理資料集是很重要的

2. 單獨建立了所需函式：initialize()、propagate()、optimize()。最後將他們整合在model()中。

3. 調整學習率將對演算法產生巨大的改變。