迴圈冗餘校驗碼（CRC）應用總結(包括C++原始碼)
最近在實習期間需要用到資料的校驗，所選為CRC16，那麼就在此總結一番吧。
現在此說明下什麼是CRC：迴圈冗餘碼校驗 英文名稱為Cyclical Redundancy Check，簡稱CRC，它是利用除法及餘數的原理來作錯誤偵測（Error Detecting）的。實際應用時，傳送裝置計算出CRC值並隨資料一同傳送給接收裝置，接收裝置對收到的資料重新計算CRC並與收到的CRC相比較，若兩個CRC值不同，則說明資料通訊出現錯誤
那麼其實CRC有比較多種，比如CRC16、CRC32 ，為什麼叫16、32呢。在這裡並非與位有和關係。而是由所確定的多項式最高次冪確定的。如下所示。理論上講冪次越高校驗效果越好。
CRC(12位) =X12+X11+X3+X2+X+1
CRC(16位) = X16+X15+X2+1
CRC(CCITT) = X16+X12 +X5+1
CRC(32位) = X32+X26+X23+X16+X12+X11+X10+ X8+X7+X5+X4+X2+X+1
迴圈冗餘校驗碼（CRC）的基本原理是：在K位資訊碼後再拼接R位的校驗碼，整個編碼長度為N位，因此，這種編碼又叫（N，K）碼。對於一個給定的（N，K）碼，可以證明存在一個最高次冪為N-K=R的多項式G(x)。根據G(x)可以生成K位資訊的校驗碼，而G(x)叫做這個CRC碼的生成多項式。
校驗碼的具體生成過程為：假設傳送資訊用資訊多項式C(X)表示，將C(x)左移R位，則可表示成C(x)*2R，這樣C(x)的右邊就會空出R位，這就是校驗碼的位置。通過C(x)*2R除以生成多項式G(x)得到的餘數就是校驗碼。
幾個基本概念
1、多項式與二進位制數碼
多項式和二進位制數有直接對應關係：x的最高冪次對應二進位制數的最高位，以下各位對應多項式的各冪次，有此冪次項對應1，無此冪次項對應0。可以看出：x的最高冪次為R，轉換成對應的二進位制數有R+1位。
多項式包括生成多項式G(x)和資訊多項式C(x)。
如生成多項式為G(x)=x4+x3+x+1， 可轉換為二進位制數碼11011。
而傳送資訊位 1111，可轉換為資料多項式為C(x)=x3+x2+x+1。
2、生成多項式
是接受方和傳送方的一個約定，也就是一個二進位制數，在整個傳輸過程中，這個數始終保持不變。
在傳送方,利用生成多項式對資訊多項式做模2除生成校驗碼。在接受方利用生成多項式對收到的編碼多項式做模2除檢測和確定錯誤位置。
應滿足以下條件：
a、生成多項式的最高位和最低位必須為1。
b、當被傳送資訊（CRC碼）任何一位發生錯誤時，被生成多項式做模2除後應該使餘數不為0。
c、不同位發生錯誤時，應該使餘數不同。
d、對餘數繼續做模2除，應使餘數迴圈。
將這些要求反映為數學關係是比較複雜的。但可以從有關資料查到常用的對應於不同碼制的生成多項式如圖9所示：
N K 碼距d G(x)多項式 G(x)
7 4 3 x3+x+1 1011
7 4 3 x3+x2+1 1101
7 3 4 x4+x3+x2+1 11101
7 3 4 x4+x2+x+1 10111
15 11 3 x4+x+1 10011
15 7 5 x8+x7+x6+x4+1 111010001
31 26 3 x5+x2+1 100101
31 21 5 x10+x9+x8+x6+x5+x3+1 11101101001
63 57 3 x6+x+1 1000011
63 51 5 x12+x10+x5+x4+x2+1 1010000110101
1041 1024 x16+x15+x2+1 11000000000000101
圖9 常用的生成多項式
3、模2除（按位除）
模2除做法與算術除法類似，但每一位除（減）的結果不影響其它位，即不向上一位借位。所以實際上就是異或。然後再移位移位做下一位的模2減。步驟如下：
a、用除數對被除數最高几位做模2減，沒有借位。
b、除數右移一位，若餘數最高位為1，商為1，並對餘數做模2減。若餘數最高位為0，商為0，除數繼續右移一位。
c、一直做到餘數的位數小於除數時，該餘數就是最終餘數。
【例】1111000除以1101：
1011———商
————
1111000-----被除數
1101———— 除數
————
010000
1101
————
01010
1101
————
111————餘數
CRC碼的生成步驟
1、將x的最高冪次為R的生成多項式G(x)轉換成對應的R+1位二進位制數。
2、將資訊碼左移R位，相當與對應的資訊多項式C(x)*2R
3、用生成多項式（二進位制數）對資訊碼做模2除，得到R位的餘數。
4、將餘數拼到資訊碼左移後空出的位置，得到完整的CRC碼。
【例】假設使用的生成多項式是G(x)=x3+x+1。4位的原始報文為1010，求編碼後的報文。
解：
1、將生成多項式G(x)=x3+x+1轉換成對應的二進位制除數1011。
2、此題生成多項式有4位（R+1），要把原始報文C(x)左移3（R）位變成1010000
3、用生成多項式對應的二進位制數對左移4位後的原始報文進行模2除：
1001-------商
------------------------
1010000
1011----------除數
------------
1000
1011
------------
011-------餘數（校驗位）
5、編碼後的報文（CRC碼）：
1010000
+ 011
------------------
1010011
CRC的和糾錯
在接收端收到了CRC碼後用生成多項式為G(x)去做模2除，若得到餘數為0,則碼字無誤。若如果有一位出錯，則餘數不為0，而且不同位出錯，其餘數也不同。可以證明，餘數與出錯位的對應關係只與碼制及生成多項式有關，而與待測碼字（資訊位）無關。圖10給出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出錯模式，改變C(x)（碼字），只會改變表中碼字內容，不改變餘數與出錯位的對應關係。
收到的CRC碼字 餘數 出錯位
碼位 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1
正確 1 0 1 0 0 1 1
000 無
錯 誤 1 0 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 1
001010100011110111101 1234567
圖10 （7，4）CRC碼的出錯模式（G(x)＝1011）
如果迴圈碼有一位出錯，用G(x)作模2除將得到一個不為0的餘數。如果對餘數補0繼續除下去，我們將發現一個有趣的結果；各次餘數將按圖10順序迴圈。例如第一位出錯，餘數將為001，補0後再除，第二次餘數為010，以後依次為100，0ll…，反覆迴圈，這就是“迴圈碼”名稱的由來。這是一個有價值的特點。如果我們在求出餘數不為0後，一邊對餘數補0繼續做模2除，同時讓被檢測的校驗碼字迴圈左移。圖10說明，當出現餘數(101)時，出錯位也移到A7位置。可通過異或門將它糾正後在下一次移位時送回A1。這樣我們就不必像海明校驗那樣用譯碼電路對每一位提供糾正條件。當位數增多時，迴圈碼校驗能有效地降低硬體代價，這是它得以廣泛應用的主要原因。
通訊與網路中常用的CRC
在資料通訊與網路中，通常k相當大，由一千甚至數千資料位構成一幀，而後採用CRC碼產生r位的校驗位。它只能檢測出錯誤，而不能糾正錯誤。一般取r=16，標準的16位生成多項式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
一般情況下，r位生成多項式產生的CRC碼可檢測出所有的雙錯、奇數位錯和突發長度小於等於r的突發錯以及（1-2-(r-1)）的突發長度為r+1的突發錯和（1-2-r）的突發長度大於r+1的突發錯。例如，對上述r=16的情況，就能檢測出所有突發長度小於等於16的突發錯以及99．997%的突發長度為17的突發錯和99．998%的突發長度大於17的突發錯。所以CRC碼的檢錯能力還是很強的。這裡，突發錯誤是指幾乎是連續發生的一串錯，突發長度就是指從出錯的第一位到出錯的最後一位的長度(但是，中間並不一定每一位都錯)。
【例1】某迴圈冗餘碼（CRC）的生成多項式 G(x)＝x3+x2+1，用此生成多項式產生的冗餘位，加在資訊位後形成 CRC 碼。若傳送資訊位 1111 和 1100 則它的 CRC 碼分別為＿A＿和＿B＿。由於某種原因，使接收端收到了按某種規律可判斷為出錯的 CRC 碼，例如碼字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年試題11）
供選擇的答案
A：① lllll00 ② 1111101 ③ 1111110 ④ 1111111
B：① 1100100 ② 1100101 ③ 1100110 ④ 1100111
C～E：① 0000000 ② 0001100 ③ 0010111
⑤ 1000110 ⑥ 1001111 ⑦ 1010001 ⑧ 1011000
解：
A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*23÷G(x)＝1111000÷1101＝1011餘111
得到的CRC碼為1111111
B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*23÷G(x)＝1100000÷1101＝1001餘101
得到的CRC碼為1100101
C～E：
分別用G(x)＝1101對①～⑧ 作模2除: ① 0000000÷1101 餘000 ② 1111101÷1101 餘001
③ 0010111÷1101 餘000 ④ 0011010÷1101 餘000 ⑤ 1000110÷1101 餘000
⑥ 1001111÷1101 餘100 ⑦ 1010001÷1101 餘000 ⑧ 1011000÷1101 餘100
所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧
【例2】計算機中常用的一種檢錯碼是CRC，即 _A_ 碼。在進行編碼過程中要使用 _B_ 運算。假設使用的生成多項式是 G(X)=X4+X3+X+1， 原始報文為11001010101，則編碼後的報文為 _C_ 。CRC碼 _D_ 的說法是正確的。
在無線電通訊中常採用它規定碼字長為7位．並且其中總有且僅有3個“1”。這種碼的編碼效率為_E_。
供選擇的答案：
A：① 水平垂直奇偶校驗 ② 迴圈求和 ③ 迴圈冗餘 ④正比率
B：① 模2除法 ②定點二進位制除法 ③二－十進位制除法 ④迴圈移位法
C：① 1100101010111 ② 110010101010011 ③ 110010101011100 ④ 110010101010101
D：① 可糾正一位差錯 ②可檢測所有偶數位錯
③ 可檢測所有小於校驗位長度的突發錯 ④可檢測所有小於、等於校驗位長度的突發錯
E：① 3/7 ② 4/7 ③ log23/log27 ④ (log235)/7
解：從前面有關CRC的論述中可得出： A：③ 迴圈冗餘 B：① 模2除法
C：G(x)＝11011，C(x)＝11001010101，C(x)*24÷G(x)＝110010101010000÷11011 餘0011
得到的CRC碼為② 110010101010011
D：從前面有關通訊與網路中常用的CRC的論述中可得出：④ 可檢測所有小於、等於校驗位長度的突發錯
E：定比碼又叫定重碼，是奇偶校驗的推廣。在定比碼中，奇數或偶數的性質保持不變，然而附加一種限制，每個字中1的總數是固定的。隨用途之不同，定比碼要求的附加校驗位可能多於一個，但較之單一的奇偶校驗將增加更多的檢錯能力。
所謂7中取3定比碼，就是整個碼字長度為7位，其中1的位數固定為3。所有128個7位程式碼（0000000～1111111）中只有1的位數固定為3的才是其合法碼字。可以用求組合的公式求出其合法碼字數為：C73＝7!/(3!*(7-3)!)＝7*6*5/(1*2*3)＝35
編碼效率＝合法碼字所需位數/碼字總位數＝(log235)/7
而對於CRC的實現有兩種方式，分別為多項式和查表法
下面先講講多餘多項式的實現，附程式碼如下
/*
* 函式名：GetCrc32
* 函式原型：unsigned int GetCrc32(char* InStr,unsigned int len)
* 引數：InStr ---指向需要計算CRC32值的字串
* len ---為InStr的長度
* 返回值為計算出來的CRC32結果。
*
* 函式名：GetCrc16
* 函式原型：unsigned short GetCrc16(char* InStr,unsigned int len)
* 引數：InStr ---指向需要計算CRC32值的字串
* len ---為InStr的長度
* 返回值為計算出來的CRC32結果。
*
* 2009/03/26 Edit By iawen
*
*/
unsigned int GetCrc32(char* InStr,unsigned int len){
//生成Crc32的查詢表
unsigned int Crc32Table[256];
int i,j;
unsigned int Crc;
for (i = 0; i < 256; i++){
Crc = i;
for (j = 0; j < 8; j++){
if (Crc & 1)
Crc = (Crc >> 1) ^ 0xEDB88320;
else
Crc >>= 1;
}
Crc32Table[i] = Crc;
}
//開始計算CRC32校驗值
Crc=0xffffffff;
for(int i=0; i<len; i++){
Crc = (Crc >> 8) ^ Crc32Table[(Crc & 0xFF) ^ InStr[i]];
}
Crc ^= 0xFFFFFFFF;
return Crc;
}
unsigned short GetCrc16(char* InStr,unsigned int len){
//生成Crc16的查詢表
unsigned short Crc16Table[256];
unsigned int i,j;
unsigned short Crc;
for (i = 0; i < 256; i++)
{
Crc = i;
for (j = 0; j < 8; j++)
{
if(Crc & 0x1)
Crc = (Crc >> 1) ^ 0xA001;
else
Crc >>= 1;
}
Crc16Table[i] = Crc;
}
//開始計算CRC16校驗值
Crc=0x0000;
for(i=0; i<len; i++){
Crc = (Crc >> 8) ^ Crc16Table[(Crc & 0xFF) ^ InStr[i]];
}
//Crc ^= 0x0000;
return Crc;
}
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
char str[]="iawen";
unsigned int crc;
//crc 32校驗
crc=GetCrc32(str,5);
printf("%08X\n",crc);
//crc 16校驗
crc=GetCrc16(str,5);//0x5359
//printf("%04X\n",crc);
system("pause");
return 0;
}